R python 正向指标 负向指标 权重 topsis

第一步：将原始矩阵正向化

常见的四种指标有：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

所谓将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化成极大型指标。

极小型—>极大型

$max-x$
如果所有的元素均为正数，那么也可以使用$\frac{1}{x}$

中间型指标—>极大型指标

中间型指标：指标既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估PH值）
{$x_i$}是一组中间型指标序列，且最佳的数值为$x_{best}$,那么正向化的公式如下：
$M=\max{|x_i-x_{best}|},x_i=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}$

PH值（转换前）	PH值（转换后）
6	$x_{best}=7\\ M=\max{|6-7|,|7-7|,|8-7|,|9-7|}=2$
7	$x_{best}=7\\ M=\max{|6-7|,|7-7|,|8-7|,|9-7|}=2$
8	$x_{best}=7\\ M=\max{|6-7|,|7-7|,|8-7|,|9-7|}=2$
9	$x_{best}=7\\ M=\max{|6-7|,|7-7|,|8-7|,|9-7|}=2$

$x_{best}=7\\ M=\max{|6-7|,|7-7|,|8-7|,|9-7|}=2$

区间型指标–>极大型指标

区间型指标：指标值落在某个区间内最好。
${x_i}$是一组区间型指标序列，且最佳的区间为$[a,b]$,那么正向化的公式如下:
$M=\max{(a-\min{x_i},\max{{x_i}-b})}\\ x_i=\left\{ \begin{array}{rcl} 1-\frac{a-x_i}{M}&&{x_i<a}\\ 1&&{a\leq x_i \leq b}\\ a-\frac{x_i-b}{M}&&{x_i>b} \end{array} \right.$

体温（转换前）	体温（转换后）
35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

$a=36,b=37\\ M=\max{(36-35.2,38.4-37)}=1.4$

第二步：正向化矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响
假设有$n$个要评价的对象，$m$个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
$X= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots\ & x_{nm} \\ \end{bmatrix}$
那么，对其标准化的矩阵记为$Z$，Z中的每一个元素：$z_{ij}=x_{xij}/\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2}\\(每一个元素/\sqrt{其所在列的元素的平方和})$

第三步：计算的得分并归一化

假设有$n$个要评价的对象，$m$个评价指标的标准化矩阵：
$Z= \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n1} & z_{n2} & \cdots\ & z_{nm} \\ \end{bmatrix}$
定义最大值
$Z^+=(Z_1^+,Z_2^+,\cdots,Z_m^+)= (\max{(z_{11}, z_{21} , \cdots, z_{n1})},\max{(z_{12}, z_{22} , \cdots, z_{n2})},\cdots,\max{(z_{1m}, z_{2m} , \cdots, z_{nm})})$
定义最小值
$Z^-=(Z_1^-,Z_2^-,\cdots,Z_m^-)= (\min{(z_{11}, z_{21} , \cdots, z_{n1})},\min{(z_{12}, z_{22} , \cdots, z_{n2})},\cdots,\min{(z_{1m}, z_{2m} , \cdots, z_{nm})})$
定义第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象与最大值的距离$D_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^+-z_{ij})^2}$
定义第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象与最小值的距离$D_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^--z_{ij})^2}$
那么我们可以计算出第$i$个评价对象未归一化的得分:$S_i=\frac{D_i^-}{D_i^-+D_i^+}$
很显然$0\leq S_i \leq1$,且$S_i越大D_i^+越小，即越接近最大值。$

带权重的TOPSIS

假设有$n$个要评价的对象，$m$个评价指标的标准化矩阵：
$Z= \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n1} & z_{n2} & \cdots\ & z_{nm} \\ \end{bmatrix}$
定义最大值
$Z^+=(Z_1^+,Z_2^+,\cdots,Z_m^+)= (\max{(z_{11}, z_{21} , \cdots, z_{n1})},\max{(z_{12}, z_{22} , \cdots, z_{n2})},\cdots,\max{(z_{1m}, z_{2m} , \cdots, z_{nm})})$
定义最小值
$Z^-=(Z_1^-,Z_2^-,\cdots,Z_m^-)= (\min{(z_{11}, z_{21} , \cdots, z_{n1})},\min{(z_{12}, z_{22} , \cdots, z_{n2})},\cdots,\min{(z_{1m}, z_{2m} , \cdots, z_{nm})})$
定义第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象与最大值的距离$D_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^m\omega_j(Z_j^+-z_{ij})^2}$
定义第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象与最小值的距离$D_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^m\omega_j(Z_j^--z_{ij})^2}$
那么我们可以计算出第$i$个评价对象未归一化的得分:$S_i=\frac{D_i^-}{D_i^-+D_i^+}$
很显然$0\leq S_i \leq1$,且$S_i越大D_i^+越小，即越接近最大值。$

可以使用层次分析法给这$m$个评价指标确定权重：
$\sum_{j=1}^m\omega_j=1$

由于层次分析法的主观性太强了，更推荐使用熵权法来进行客观赋值。