ar自回归模型实现手写数字生成 ar自回归模型matlab

目录

• 一、平稳随机信号常用的线性模型

• 1. MA模型
• 2. AR模型
• 3. ARMA模型

• 二、程序验证

一、平稳随机信号常用的线性模型

为随机幸好简历参数模型是研究随机信号的一种基本方法，其含义是认为随机信号是由白噪声激励某一确定系统的响应。根据 Wold 的证明：任何平稳的 ARMA（自回归移动平均）模型或 MA 模型均可用无限阶或阶数足够的 AR 模型去近似。
对于平稳随机信号，主要有三种常用的线性模型：AR（Auto-Regression，自回归）模型、MA（Moving Average，滑动平均）模型和ARMA（Auto-Regression-Moving Average，自回归滑动平均）模型。

1. 怎样在csdn用LaTeX写数学公式，点击链接2. 由于光看内容很难学，于是尝试了这个→在线LaTeX编辑器，发现用多了就知道怎么直接写了

1. MA模型

随机信号 由本身的若干次过去值$x(n-k)$和当前的激励值$x(n)$线性组合产生：
$x\left ( n \right )=\sum_{k=0}^{q}b_{k}w\left ( n-k \right )$
该模型的系统函数为：
$H(z)=\frac{X(z)}{W(z)}=\sum_{k=0}^{q}b_{k}z^{-k}$

$p$是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用$AR(p)$来表示。

关于零极点与系统的关系，点击阅读

2. AR模型

随机信号$x(n)$由本身的若干次过去值$x(n−k)$和当前的激励值$w(n)$线性组合产生：
$x(n)=w(n)-\sum_{k=1}^{q}a_{k}x(n-k)$
该模型系统函数为：
$H(z)=\frac{1}{1+\sum_{k=1}^{p}a_{k}z^{-k}}$
其中，$p$为系统阶数。
该模型系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型。系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置。可表示为$AR(p)$。

3. ARMA模型

ARMA模型是AR模型和MA模型的结合：
$x(n)=\sum_{k=0}^{q}b_{k}w(n-k)-\sum_{k=1}^{q}a_{k}x(n-k)$
该模型系统函数为：
$H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{q}b_{k}z^{-k}}{1+\sum_{k=1}^{p}a_{k}z^{-k}}$
可以看出，它既有零点又有极点，所以也称极零点模型，要考虑极零点的分布位置，保证系统的稳定。可表示为$ARMR(p,q)$。

二、程序验证

例题：已知自回归信号模型AR(3)为：

$x(n)=\frac{14}{15}x(n-1)+\frac{9}{24}x(n-2)-\frac{1}{24}x(n-3)+w(n)$

式中$w(n)$是具有方差$σ_{w}^{2}=1$的平稳白噪声，求：

解：

1. 由$a_1=-14/24，a_2=-9/24，a_3=1/24，σ_{w}^{2}=1$代入：
   
   得：
   
   解得：
   $R(0)=4.9377，R(1)=4.3287，R(2)=4.1964，R(3)=3.8654$
   
   而$m=4$和$m=5$可以通过公式求得：$R(4)=3.6481，R(5)=3.4027$
   
2. 已知自相关序列值，反向解上线性方程组，即可得估计值$a_1=-0.5833，a_2=-0.3750，a_3=0.0417，σ_{w}^2=1.0000$
3. 利用给出的观测值，带入样本自相关定义式，由于偶对称，得到m=0,1…31的$R_{xx}(m)$自相关序列如下，带入得到估计值$a_1=-0.5833，a_2=-0.3750，a_3=0.0417，σ_{w}^2=1.0000$
   
   
   可见，存在较大的误差，原因在于我们只有一部分的观测数据，使得自相关序列值与理想的完全不同，同时输入信号的方差误差比较大。