lua 未知符号 未知用符号表示

数学 {数学符号,表达式,等式,方程,变量,多项式,方程的等效变换}, @LOC_COUNTER=6

数学符号

定义

用于表达数学的最小单位, 你在数学里看到的一切, 都是由数学符号组成的;

数学符号的分类:
1 常数;
. 如$123, \pi, e, i=\sqrt{-1}$, 也可用$a,b,c$来代指;
2 变量;
. 用$x,y,z$来表示, 代指某些数学对象(给定集合中的任意元素);
3 函数;
. {自定义函数(用$f,g,h$来表示(如$f(x) = x^2$)), 系统函数(如$sin(x), log_a(x)$)};
4 集合;
. 系统集合: {N(自然数), Z(整数), Q(有理数), R(实数), C(复数)};
. 集合操作: {$\in, \subset$};
5 逻辑;
. {$\forall, \exists, \iff$};
6 运算;
. {加减乘除, 根号, 取幂, 极限, 微积分, …};
7 标点;
. {括号(表示强优先级)};
8 关系;
. {等号不等号, 大于小于};

数学表达式

定义

不包含关系符号(如$=,\neq,>,<$)的数学符号的组合;

比如$1 + 2, \ 3x, \ f(x) + 5$;

相关术语

{算式, 多项式, 代数式, 解析式} @Mark_2

{算式, 多项式, 代数式, 解析式} 都属于数学表达式的子集;
. 他们依次属于包含关系: 算式 $\subset$ 多项式 $\subset$ 代数式 $\subset$ 解析式 $\subset$

算式	多项式(又称整式)	代数式	解析式	数学表达式
{常数, 变量, 四则运算, 阶乘(其实阶乘的本质, 还是属于常数, 因为他就是一系列常数的乘法)}	{整数幂(连乘)}	{N次方根}	{实数幂, 对数, {三角, 反三角}函数, {双曲, 反双曲}函数, 级数}	{极限, 微分,积分}等一切数学符号

@DELIMITER

等式

定义

形如: $表达式1 = 表达式2$;

性质

分类

恒等式: 在任何条件下都成立的等式; 比如2 = 2;

矛盾式: 也称之为不等式; 比如2 = 3是错误的 即矛盾式 等价于2 != 3;
. 换句话说, 一个等式 可能为真 可能为假;

方程式: 包含未知数的等式;

相关知识

恒等式: 参见@Mark_0;

–

方程式: 参见@Mark_1;

恒等式 @Mark_0

定义

在任何条件下都成立的等式.

示例

二项式定理

$\displaystyle (a + b) ^ n = \sum_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n-i} \quad n \in N^+$.

对于$a-b$的情况, 可以变成$(a + (-b))^n$的形式.

当$n=2$时, 此等式又称为和平方; 当$n=3$时 称为和立方;

–

平方差

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

–

立方和

$a^3 \pm b^3 = (a \pm b) (a^2 \mp ab + b^2)$.

{变量,未知数}

定义

通常使用$x,y,z$来标识, 本质上 {变量,未知数}都是表示不确定的量, 但在不同情况下 稍有不同;

1 在方程里, $x$称为未知数.
. 如对于$x^2 = 4$中, $x$并不能说是变量, 因为他只可以取$\pm 2$.
2 在表达式中, $x$称为变量.
. 如在$f(x)=2x, \ \ x \in N$这个表达式中, $x$可以取给定集合里的任意元素, 他不受限制 可以任意变化;

算式

定义

根据@Mark_2, 算式属于数学表达式的一种, 他是由: {常数, 变量, 四则运算}组成;

比如$2x + 3$就是一个算式;

多项式(又称整式)

定义

根据@Mark_2, 多项式属于数学表达式的一种, 他比算式多了一个整数幂操作, 即他是由: {常数, 变量, 四则运算, N次幂}组成;

比如$2x^2 + 3$就是一个多项式;

任意多项式由若干个单项式的相加组合, 即$\text{多项式} = \sum \text{单项式}$;
. 单项式: 假如一个多项式由$x,y,z$三个变量组成, 则多项式的每一项(即单项式) 都是形如: $A x^{n1} y^{n2} z^{n3}$的形式(其中A为常数, $n1,n2,n3 \in N$);

代数式

定义

根据@Mark_2, 代数式属于数学表达式的一种, 他比多项式多了{有理数幂}操作, 即他是由: {常数, 变量, 四则运算, 有理数幂}组成;
. 有理数幂包含了两个操作: {$x^{-1}$(即此时变量成为了分母(这是多项式所不允许的), $x^{1/3}$(即变量可以开方根(这也是多项式不允许的)};

相关术语

{有理式, 无理式, 整式, 分式}

有理式: 不包含变量的开方根操作, 即$x^n, n \in Z$ (如$x^2, x^{-2}$都是有理式);

无理式: 包含变量的开方根, 即$x^a$ 其中$a$一定是有分母的(如$\sqrt{x}$);

有理式分为: {整式(即多项式), 分式};
. 因为有理式是$x^n, n \in Z$; 当$n \geq 0$时 为整式, 当$n < 0$时 为分式; ($x^2$是多项式, 而$\displaystyle \frac{1}{x^3}$为分式)

@DELIMITER

方程 @Mark_1

定义

方程有一些概念:

未知数集合X
. 自己要主动明确说明未知数有哪些; (X是个集合);
. . 比如规定方程的未知数集合为X = {x,y,z}, 则该方程一定可以写成$f(x,y,z) = g(x,y,z)$的形式 (两个多元函数);
. 未知数不一定出现在方程里; (比如规定方程的未知数是X = {x}, 方程为$0=0$, 这是可以的); 但方程里的未知数 必须出现在X你 (比如方程2x = 3y, 那么X至少包含x,y两个未知数);
. 2个未知数的类型 不一定相同; 比如X = {x,y}, x是实数 而y是矩阵, 这是可以的;

定义域D
. 自己要主动明确说明: 每个未知数的定义域是什么; (D是个集合);
. 比如方程$x=y$, 规定定义域为$x \leq 0, y \geq 0$, 则方程的解为{x=0, y=0};
. 定义域里面 包含了未知数集合, 因为定义域的形式是: $x \in D_x, y \in D_y, ...$, 他一定要包含每个X里面的未知数; (因此, 两个定义域相同 一定说明他们的未知数集合X也是相同的);

解集
. 在定义域内 满足该等式的未知量取值; 可能为空, 可能为有限个, 也可能为无限个;

值类型
. 方程$f(..) = g(..)$中, $f(..)$返回值的类型 (等于$g(..)$的返回值类型);
. . 如果$f,g$的返回值类型都不同, 那么$f(..) = g(..)$就不能称之为方程; 因为中间是$=$等号 即他俩要比较大小关系, 当然只有属于同一数学类型的两个对象 才可以比较大小;
. 比如方程为$2x = 5$, 因为5是实数 所以该方程的值类型为实数 (不用管左侧的$2x$, $x$的定义域 也一定是实数集);
. 比如方程为$Ax = ...$ (E为矩阵, x定义域为实数), 那么该方程的值类型为矩阵;

值域
. 因为方程是形如$f(x,y,...) = g(x,y,...)$的形式, 当未知量$x,y,... \in D$定义域时, 得到对应的$f,g$函数的值域 记作$R_f, R_g$, 则$R_f \cup R_g$称为该方程的值域;

项
. 比如方程$xy + 2x = 3y - 4$, 其中有4项: xy, 2x, 3y, -4;
. 方程两侧, 就是若干项的相加减;

相关术语

元

方程中未知数的个数, 称为元;
. 比如: 一元方程 即形如: $f(x) = g(x)$;

@DELIMITER;

{等式函数, 布尔等式函数}; MARK: @LOC_5;

对于方程$f(X) = g(X)$ (未知数为X, 定义域为D);

等式函数: 对于任意$X_0 \in D$ 将$X_0$代入方程里 得到$f(X_0) = g(X_0)$, 这个等式记作$E(X_0)$, 因此 $X_0$就对应这个等式;
. 这个等式是恒等式 $\iff$ $X_0$是个解, 否则就是矛盾式;
那么, 对应所有的定义域$D$, 就得到了一个等式函数$E(X)$; (定义域为$D$

布尔等式函数$B(X)$: 根据等式函数$E(X)$, 如果为恒等式 返回true, 否则为矛盾式 返回false;
. 该函数的定义域仍然为$D$, 值域为布尔值;

两个布尔等式函数$f,g$相同 $\iff$ $(D_f = D_g) \land (f(x) = g(x), \forall x \in D_f)$ (也就是函数相同的定义);

@DELIMITER;

方程相同; MARK: @LOC_4;

两个方程相同 的定义为: {定义域, 解集}是相同的; (定义域相同 $\implies$ 未知数集合X是相同的)
. 值域可以不同; 比如方程x = x (未知数为x, 定义域为$\mathbb R$) 值域为$\mathbb R$, 该方程可以等效变换为0 = 0 (未知数为x, 定义域为$\mathbb R$) 该方程的值域为$0$; 虽然值域不同, 但这两个方程是相同的;
. 值类型可以不同; 比如方程0 = 0 (未知数为x, 定义域为$\mathbb R$) 值类型为实数, 方程A = A (未知数为x, 定义域为$\mathbb R$) (A表示某个矩阵) 值类型为矩阵; 虽然值类型不同, 但这2个方程是相同的;

方程相同的 计算式: 两方程相同 $\iff$ 他俩的布尔等式函数相同; LINK: @LOC_5;

@DELIMITER;

隐式方程;

令未知量集合为{x1, x2, ..., xn}, 则$f(x_1, x_2, ..., x_n) = 0$ 称为隐式方程; (其中$f$为多元函数), (也就是将未知数 全部放到左侧);
. 比如$x + y + 3 = 0$为隐式方程;

–

显式方程;

令未知量集合为{x1, x2, ..., xn}, 则$x_1 = f(x_2, ..., x_n)$ 称为显式方程; (其中$f$为多元函数), (也就是: 某一个未知数在左侧, 其他未知数都在右侧);
. 比如$y = x + 3$为显式方程;
其实显式方程 已经就是个函数了;

@DELIMITER

线性方程(又称一次方程) @Mark_3

$Ax + b = 0$为一元一次方程 ($f(x) = Ax + b$的图像, 在二维坐标系中 为一条直线);

$Ax + By+ c = 0$为二元一次方程 ($f(x) = Ax +By+ b$的图像, 在三维坐标系中 为一个平面);

n元一次方程, 为n维空间的超平面(即n维度空间中的, 维度为$n-1$的子空间);

@DELIMITER

方程组

由多个方程组成 (即解不再是只满足一个方程, 而是要满足多个方程);

@DELIMITER

{代数方程, 有理方程, 无理方程}

任意方程$A = B$, 都可以化简为$A - B = 0$的形式, 因此任意方程 都可以形如$? = 0$的形式, 根据$?$的分类, 若$?$是代数式, 则为代数方程; 若他是多项式 则为多项式方程; 以此类推;

@DELIMITER

{解析解, 数值解}

解析解
. 可以通过解析该方程来表达的解, 他是 有限次常见运算的组合;
. 最经典的, 一元二次方程的解 就是解析解;

数值解
. 使用数值分析方法, 可得到近似解; (比如$\sqrt{2}$ 无法求出其精确解, 就估算/近似为$1.414$)

–

较复杂的方程可能会不存在解析解, 此时可以通过数值分析进行近似 可得到其数值解.

@DELIMITER

性质

显式方程 一定可以转换为隐式方程, 但反之不然;
. 显式方程y = f(x1,x2,...) 通过(等效变换–未知量变换) 得到g(x1,x2,...,y) = y - f(x1,x2,...) = 0 就是个隐式方程;
. 但隐式方程 比如$f(x,y) = x^2 + y^2 = 1$ 就无法变成显式方程; 而隐式方程$x + y^2 = 1$ 可以变成显式方程$x = 1 - y^2$;

@DELIMITER

方程$a,b$: 定义域为$D_a, D_b$, 解集为$R_a, R_b$, 对应的布尔等式函数为$B_a, B_b$ (定义域分别为$D_a, D_b$);
方程$a,b$相同 的定义为: $(D_a = D_b) \land (R_a = R_b)$;
还有一个等价定义: $(B_a = B_b)$;

@DELIMITER;

对于方程$f(..) = g(..)$ 定义域为$D$;
. 当未知量取定义域里的某个值$x_0$时, 此时将该值代入方程里替换掉未知量, 会得到$f_0 = g_0$;
. 如果$f_0 = g_0$ 是矛盾式 则说明$x_0$不是解; 否则, $x_0$是一个解;
. 比如, $2x = 3y$ (定义域为$x,y \in \mathbb R$); 当未知量取x=1, y=2时 得到2 = 6 显然他是矛盾式 (即x=1, y=2不是解); 而当未知量取x=3, y=2时 得到6=6 显然他是恒等式 因此x=3, y=2是一个解;
. 因此, 对定义域里的每一个取值 都会得到一个形如$f_i = g_i$的等式 (如果他是恒等式 则得到一个解; 否则是矛盾式 则不是解);

@DELIMITER

不定方程(又称丢番图方程)

定义

不定方程: 所有常数均为整数, 且解也均为整数的, 且任意单项式最多包含1个变量,的 多项式方程;
. 不定方程一定形如: $a_1 * x_1 ^{b_1} + ... + a_n * x_n ^{b_n} = A$; 要注意几点:
. 1 $a_i, A$这些常数 都必须是整数 (这和多项式的定义不同);
. 2 每一项 最多包含一个变量, 比如$2xy$这个单项式 是不允许的(这和多项式定义不同);
. 3 每个$x_i$的范围 一定是整数(这和多项式定义不同); 所以谈到有解, 一定是指有整数解;
. $b_i \in N^+$这是自然的, 从多项式的定义可知;
. 令$B = max(b_i)$, 则该不定方程称为: $n$元$B$次不定方程;

相关术语

一次不定方程

形如: $a_1*x_1 + ... + a_n*x_n = A$;

其有解的充要条件是: $gcd(a_1, ..., a_n) \ | \ A$;

–

当$n = 2$ 即2个变量的情况时, 该方程为: 裴蜀方程, 参见126819431/ @Mark_0;

@DELIMITER

方程的等效变换

定义

方程1, 经过等效变换 后, 得到方程2, 且方程1和方程2 是相同的; (方程相同: LINK: @LOC_4);

等效变换分为2类: {未知量变换, 复合变换};

@DELIMITER

未知量变换:
设方程1为$f(X) = g(X)$, 定义域$D$; 方程两侧同时加减乘除一个h(X) (关于未知数集合的函数, 定义域为D (这很重要, 定义域 与方程的定义域 是相同的) 值域为实数);
. 比如方程3x = x (定义域为$\mathbb R$); 如果两侧同减去h(X)=x 变成了2x = 0 他和原方程是等价的; 可如果两侧同除以h(X)=x 变成了3 = 1 这就不是等价的 (原方程的解的x=0 而新方程是无解的);
假设方程的值类型为实数, 从等式函数的角度, 分析下 未知量变换需要满足哪些条件;
. 原方程的等式函数$E(X)$, 对于$X_0$ 他的等式为$f(X_0) = g(X_0)$ (可能是恒等式 可能是矛盾式), 进行未知数变换后 不可以影响该等式的布尔值 (原来是恒等式 现在必须还得是恒等式);

{加/减}操作;
对于$X_0$ 他的新等式为$f(X_0) \pm h(X_0) = g(X_0) \pm h(X_0)$, 因为$h(X_0)$是个标量, 从1维坐标系的角度看 两个实数 $f(X_0), g(X_0)$ 同加减一个标量 他俩的相对大小关系 不会变化;
因此, 加减操作 是等效的;

乘法操作;
因为$h(X_i)$是个标量, 从1维坐标系的角度看 两个实数 $f(X_i), g(X_i)$ 同乘一个标量 他俩的相对大小关系 可能会变化的; (比如1 < 2 可是同乘0后 变成了0 = 0);
准确的说, 只有当$(f(X_i) \neq g(X_i)) \land (h(X_i) = 0)$时, 会出错; 也就是$f(X) * h(X) = g(X) * h(X)$ 并不是等效于 原方程, 你需要保证$h(X_i) \neq 0$;
因此, 乘法是不能直接等效变换的 (除非定义域里 不存在使得$h(X)=0$的情况); 但如果从解方程的角度 如果你等效变换的目的是为了解方程 (即求解), 那么可以进行如下操作:
. 令$D_0 \subset D$为: 所有使得$h(X) = 0$的取值; (即$\forall X \in D_0, h(X) = 0$);
. 对于要求所有$D_0$里的解的情况, 一个个的代入原方程 $f(X) = g(X)$里, 看看有哪些解;
. 对于要求所有$D/D_0$里的解的情况, 求解新方程$f(X) * h(X) = g(X) * h(X)$ (且定义域为$D/D_0$, 这样保证了在定义域里 $h(X) \neq 0$);
. 比如方程$x = 1$ (定义域为$\mathbb R$), 令$h(X) = x$, 则$D_0 = \{0\}$; (对于$D_0$里, 没有解); (对于$D/D_0$里, 新方程为$x^2 = x$ 解为$1$);

除法操作;
跟乘法的情况一样, 当$h(X) = 0$时 发生了除0错误;
因此, 除法是不能直接等效变换的 (除非定义域里 不存在使得$h(X)=0$的情况); 但如果从解方程的角度 如果你等效变换的目的是为了解方程 (即求解), 那么可以进行如下操作:
. 令$D_0 \subset D$为: 所有使得$h(X) = 0$的取值; (即$\forall X \in D_0, h(X) = 0$);
. 对于要求所有$D_0$里的解的情况, 一个个的代入原方程 $f(X) = g(X)$里, 看看有哪些解;
. 对于要求所有$D/D_0$里的解的情况, 求解新方程$f(X) / h(X) = g(X) / h(X)$ (且定义域为$D/D_0$, 这样保证了在定义域里 $h(X) \neq 0$);
. 比如方程$x^2 = x$ (定义域为$\mathbb R$), 令$h(X) = x$, 则$D_0 = \{0\}$; (对于$D_0$里, $0$是个解); (对于$D/D_0$里, 新方程为$x = 1$ 解为$1$), 因此0, 1是解;

@DELIMITER

复合函数变换:
设方程1为$f(X) = g(X)$, 定义域$D$ 值域为$R$;
函数$h(x)$ 定义域为$D_h$, 且在定义域上 为单射函数 ($h()$的自变量类型 与方程1的值类型是相同的);
如果$R \subset D_h$, 则$h(x)$函数为等效变换 (即方程$h( f(X)) = h( g(X))$

证明:
从等式函数的角度, 对任意$X_0 \in D$ 得到等式$f(X_0) = g(X_0)$ (他是{恒等式/矛盾式}), 经过复合函数后 变成了$h( f(X_0)) = h( g(X_0))$, 那么要保证 这个新等式 与 原等式 的布尔值一样 (要么都是恒等式 要么都是矛盾式, 否则解集就不同了);
. 只有当h(x)为单射时, 此时如果其定义域$D_h$里的任意两个自变量取值 (如果相同 则函数值也相同, 即恒等式), (如果不同 则函数值一定不同, 即矛盾式);
. 这样就保证了, 任意$X_0 \in D$

性质

@DELIMITER

等效变换的复合函数变换 必须是单射函数;
. 比如方程x = 3 (令$D = \mathbb R$,则值域$R = \mathbb R$), 如果令$op(x) = x^2$ 且$D_o = \mathbb R$,虽然$R \subset D_o$, 但是由于$op(x)$不是单射函数, 所以方程$op(x) = op(3)$ 即$x^2 = 3$ 与原方程 并不相同;
. 原方程的解为x=3, 而新方程的解为x={3, -3};
. 但如果令$D \geq 0$, 则值域$R \geq 0$; 令$op(x) = x^2$ 且$D_o \geq 0$, 此时依然满足$R \subset D_o$, 而且$op(x)$在其定义域上 为单射函数, 故$op(x) = op(3)$ (即$x^2 = 3$) 与原方程是等价的;

@DELIMITER

@MARK_4

对于等式$A = B$, 我们分析AB的类型;
. 首先, A|B一定是一个数学对象 (比如, 实数/矩阵/…), 且他俩是相同的类型 (A是实数 而B是矩阵, 这是不可能的); 他俩不仅类型相同, 还相等;
. . 当然, 相等这个概念, 他的定义 是要有其数学类型所定义的; (实数有其$=$的定义, 矩阵也有其$=$的定义, 因人而异的)
. 假如A|B的数学类型为$T$, 若T支持左乘标量, 那么$A=B$ 与 $k*A = k*B$ 是完全等价的 ($k$可以等于0)
. . 但要注意, $k*A \neq B * k$, 因为不支持右乘; 即便支持右乘 也不要这样写, 要规范 做相同的处理;
. . 为什么可以这样做呢? 他的本质是, 因为$A,B$相等, 因此, 方程$A=B$ 可推出$A=A$ (或$B=B$), 注意词语可推出, 而不是充要条件;
. . . 注意, 虽然$2x = 0$的解是$x=0$, 而你变成$2x = 2x$后 解就变了, 因为他是个恒等式; 但这里不考虑解的问题, 因为讨论的是 操作$*k$的合法性;
. . 对于$A=A$恒等式, 你要进行$*k$操作, 就相当于, 执行了$k * A$; 因此, 已知A是一个合法对象, 你要保证$k*A$操作之后 依然是一个合法对象;
. . $k$是任何标量都可以, 不可以是$\infty$ (也就是平时说的$/0$除零问题), 因为他不是标量 (标量是明确的一个常数);
. . 因此, 如果你要对方程$A=B$ 两侧同时执行某操作$op$, 即变成$op(A) = op(B)$; 你只要保证: $op(A)$是合法的即可 (因为$op(B)$等价于$op(A)$, AB两个对象是相等的);
. . 比如, 如果A是矩阵, 那么$op(A) = A + k$ 这是不可以的, 因为矩阵不可以与标量相加;
. . 比如, $A$是$m*n$的矩阵, 那么$op(A) = C * A$ 其中$C$为$k*m$的矩阵, 这是合法的, 结果是一个$k*n$的矩阵;
. . . 但是, 如果你写成: $C * A = B * C$ 这就错了! 因为矩阵的乘法不具有交换律, 再说 从规范性角度也不对, 两侧必须做完全相同的处理 $C*A = C*B$;

例题

幂指函数$y = u^v (u > 0)$, 因为其函数值> 0, 故对于对数函数$\ln x$ (其定义域为x > 0), 可以进行复合函数变换;
即$y = u^v (u>0)$ $\iff$ $\ln y = \ln {u^v} (u>0)$;

@DELI;

$x^2 + y^2 = 1$ (定义域为$x,y \in \mathbb R$)
通过未知数变换的减法操作 (令$h(X) = x^2$), 得到$y^2 = 1 - x^2$ (他与原方程相同);
此时新方程的值域为$\geq 0$, 通过复合函数操作 (令$h(x) = \sqrt{x}$ 定义域为$\geq 0$), 因为$R \subset D_h$ 且$h(x)$为单射, 所以可以进行操作, 得到$\sqrt{ y^2} = \sqrt{ 1 - x^2}$;
. 注意, 根号不可以直接与平方抵消 (即$\sqrt{y^2} \neq y$; LINK: []--[@LOC_0]), 他等于$|y|$ 而不是y;
. 即$|y| = \sqrt{ 1 - x^2}$; (也可将他拆分开来, 即当$y \geq 0$时 方程为$y = \sqrt{1 - x^2}$; 否则$y < 0$时 方程为$-y = \sqrt{1 - x^2}$);

@DELIMITER

方程的拆分

定义

将定义域划分为若干子区域, 在子区域上 再单独研究方程;
. 比如$|y| = 2|x| + 3$ (定义域为$x,y \in \mathbb R$);
. 拆分1: (当$y \geq 0$时 得到$y = 2|x| + 3$), (否则$y < 0$ 得到$-y = 2|x| + 3$);
. 拆分2: (当$x \geq 0$时 得到$|y| = 2x + 3$), (否则$x < 0$ 得到$y = 2(-x) + 3$);
. 拆分3: (当$x \geq 0, y \geq 0$时 得到$y = 2x + 3$), (当$x \geq 0, y < 0$ 得到$-y = 2x + 3$), (当$x < 0, y \geq 0$时 得到$y = 2(-x) + 3$), (否则$x < 0, y < 0$ 得到$-y = 2(-x) + 3$);