数学日记
第三章
从尺子到山峰
这是阳光明媚的一天,老师正在上课,而书菌正在偷偷的把玩着新买的尺子。这是一把锐角为30度和60度的直角三角形,崭新而通明。“咔嚓!”一声,尺子被书菌不小心撇断了,成了不规则的两截。
此时,书菌伤心不已,盯着两片断了的三角尺残骸,突然想起了什么。
若把完好的三角尺中间那个三角形填满那么它就是一个完整的三角形。
那么断成两截就变成这样:
也就是这样:
书菌一看刻度,发现,a与b刚好一样长,而且刚好是由顶点到线段a与b的直线分裂开来的。
那么两个三角形的面积分别是
S①=axhx1/2
S②= bxhx1/2
所以
S①:S②=axhx1/2 : bxhx1/2
可以推导出
S①:S②= a:b
这就是最基本的比例模型“等高模型”
会了“等高模型”,我们来看一看这样一道题:
例一
如下图所示
AB:BC:CD=1:1:1
EF:FG:GH:HI:ID=1:1:1:1:1
求:S①:S②:S③:S④:S⑤=??????
What?
看懂题目了吗?不要着急,不要害怕,才学了等高模型,就让我们活学活用,抽丝剥茧!
首先一找等高,可发现
S△AEF : S△AFD=1:4(条件1)
S△AFB : S△BFD=1:2(条件2)
S△BFG : S△BGD=1:3(条件3)
S△BGC : S△CGD=1:1(条件4)
设S△AEF为1份,
(由条件1和2推导而来。S△AFD占4份,而S△AFB又为1/3S△AFD)
那么S△AFB为4/3份,
(由条件1和2和3推导而来。S△AFB为4/3份可推出S△BFD=8/3份,而S△BFG又为1/4S△BFD,所以可推出S△BFG=2/3份)
S△BFG为2/3份,
(四个条件综合起来看,S△AFD=S△AFB+S△BFG+S△BGC+S△CGD, S△AFD占4份,S△AFB为4/3份S△BFG=2/3份, S△BGC+S△CGD=4-4/3-2/3=2份,又因为条件4可推出)
S△BGC占一份,同理S△CGD也占一份,
就是转换它们的比例还是略有些麻烦,其它的还是比较easy的。
综上所述
S①:S②:S③:S④:S⑤
=1:4/3:2/3:1:1=3:4:2:3:3
这题就解完了
等高模型是最基本的比例模型,搞懂了等高模型,你就万能了,在众多的模型中,有一种非常重要的比例模型与等高模型息息相关。
看它像什么?好像游戏愤怒的小鸡里的一只三角鸡。
这就是经典的鸟头模型!专业名称是“共角模型”
你会发现图中有△ADE与△ABC两个三角形,他们都有共同的一个角A,这就是它们的“共角”。问题来了,当你知道S△ADE时,你能否求出S△ABC吗?我们需要什么?
的确,我们需要数据,但我们更需要“公式”,公式都是推导出来的,我们要推导鸟头模型的公式,模型里的公式就需要用到“等高模型”,我们不妨连接EB成如下图形
你现在可以发现“等高模型”了吗?
由此可得
S△ADE : S△ABE=AD:AB
S△ABE : S△ABC=AE:AC
书菌之所以都提出连接EB是因为这样可以更好化连比。
但首先,书菌来为大家简化介绍“化连比”是什么?因为这种方法简单又实用。
化连比,假如某班男生:女生=2:1,女生:老师=5:1,那么男生:女生:老师=?
以下就是化连比
男生 :女生 :老师
2X5 :1x5
5x1 :1x1
10 :5 : 1
找到女生两次的最小公倍数,即可把三种类型同级比较,因为女生人数是固定的。
最终可以得出
男生:女生:老师=10:5:1
以上就是化连比
回到鸟头模型那里,我们发现两个式子出现了S△ABE
S△ADE:S△ABE :S△ABC
AD :AB
AE :AC
= AD XAE:AB X AE:ACXAB
得出:
S△ADE/S△ABC=(AD X AE)/ (AC X AB)
这就是鸟头模型的公式!
我们活学活用一下。
例二:如图所示
问:S△ABC是多少?
梯形DFGE面积是多少?
梯形FHIJ面积是多少?
梯形HBCI面积是多少?
这道题你可以发现3鸟头模型,可分别得出S△ADE、S△AFG、S△AHI的面积,因为S△ADE已经给出是10,那么我们可以算出它占S△ABC的多少份。
S△ADE/S△ABC=(ADXAE)/(ABXAC)=(1X1)/(4X4)=1/16
既然S△ADE是大三角形的1/16,
那么
S△ABC=10X16=160
第一小问就这样解决了!
那么如何求那三个梯形呢?
S梯形DFGE是S△AFG的一部分,
S梯形DFGE=S△AFG-S△ADE
那么S△AFG就是一个鸟头,求出它的面积很简单
S△AFG=160X(2X2)/(4X4)
=160X1/4
=40
S梯形DFGE=S△AFG-S△ADE=40-10=30
同理
S梯形FHIG=S△AHI-S△AFG
=160X(3X3)/4X4-40
=90-40
=50
S梯形FHIG =50
我们可以发现,它们是循循渐进的
还剩下最后一个S梯形HBCI,
S梯形HBCI=S△ABC-S△AHI=160-90=70
这道题就完美解决了,我们彻底用了比例模拟中的“鸟头”来解决这道题。
其实,我们还可以用相似模型来处理这道题。有人就问了“今天的题目怎么这么简单,而且一题还要讲半天。”
比例模型有的是难题,但如果不了解最基本的方法与推导,刷再多的题也是无用的。好了,现在我们看看如何用“相似三角形”来解这一道题。
首先,书菌先来为大家介绍一下什么是“相似模型”。
如下图所示
一个正方形,在当中画一个小正方形。
AE:EB=1:1,AF:FC=1:1,那么S□AFGE: S□ACDB=?
显而易见是1:4,这大正方形就是小正方形的每条边扩大一倍之后得来的,
第一种方法,分割法:
把大正方形平均分为四份,那么小正方形刚好是一份,所以S□AFGE: S□ACDB=1:4
别看这种方法做起简单的题快,可是它是最土的办法了,不信?来看看下面这道题。
那么可以用同样的方法来做这道题吗?
如下图所示
一个正方形,在当中画一个小正方形。
AE:EB=1:99,AF:FC=1:99,那么S□AFGE: S□ACDB=?
如果用分割法来画,估计要画晕掉。所以我们得找一样东西,找什么?找公式!
之前的的图一正方形的样子是一样的,但放大了,这就是相似图形。两个正方形的线段比为1:2,而两个图像的面积比为1:4。
好了,你会发现两个图像的面积比同样是
1²:2²,
公式出来了,
相似比=线段比²
S□AFGE: S□ACDB=1²:100²
=1:10000
这就是相似正方形,
像原题(例二)中的就是经典的相似三角形。
相似比=线段比²
S△ADE:S△AFG:S△AHI:S△ABC=1:4:9:16
那么三个梯形分别就是
S△ABC的(4-1)/16、(9-4)/16、(16-9)/16。
同样可以得出30、50、70。
这就是用“相似模型”解本题,比用鸟头模型解题方便多了,你看懂了吗?