条件平差 更新权重的方法 条件平差的一般步骤

条件平差

平差方法

基本的线代基础
$\begin{aligned} &(AB)^T=B^TA^T \\ &[(AB)^{-1}]^T=[(AB)^{T}]^{-1} \\ &\frac{\partial AB^T}{\partial X}=A^T\frac{\partial B}{\partial X}+B^T\frac{\partial A}{\partial X} \end{aligned}$
条件平差的函数模型：
$\begin{array}{l} AV-W=0\\ W=-(AL+A_0) \end{array}$
随机模型：
$D=\sigma_0^2Q=\sigma_0^2P^{-1}$
估计准则：
$V^TPV=\min$
根据拉格朗日乘数法：
$\Phi=V^TPV-2K^T(AV-W)$
对其求导：
$\frac{\partial \Phi}{\partial V}=2V^TP-2K^TA=0$
即：
$P^TV=A^TK\rightarrow V=P^{-1}A^TK=QA^TK$
其中权阵$P$的转置等于其自身

将式代入： $AV-W=0$

则有：
$AQA^TK-W=0 \rightarrow K=(AQA^T)^{-1}W=N^{-1}W$
再将$K$的解代回：$V=QA^TK$

则有：
$V=QA^TN^{-1}W=QA^T(AQA^T)^{-1}W$

精度评定

按照单位权中误差的定义，有：
$\hat \sigma_0=\sqrt{\frac{V^TPV}{n-t}}=\sqrt{\frac{V^TPV}r}$
上述参数都可根据平差过程中求得，在此不再赘述。

按照协因数阵与方差阵之间的关系，有：
$D_{\hat L\hat L}=\hat \sigma_0^2 Q_{\hat L\hat L}$
令
$Z=\left[\begin{array}{c}L\\W\\K\\V\\\hat L\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}I\\-A\\-N^{-1}A\\-P^{-1}A^TN^{-1}A\\I-P^{-1}A^TN^{-1}A\end{array}\right]L+\left[\begin{array}{c}0\\-A_0\\-N^{-1}A_0\\-P^{-1}A^TN^{-1}A_0\\-P^{-1}A^TN^{-1}A_0\end{array}\right]$
此处推导 $\hat L$的计算过程：
$\hat L=L+V=L+QA^TN^{-1}W=L+QA^TN^{-1}[-(AL+A_0)]=(I-QA^TN^{-1}A)L-QA^TN^{-1}A_0$
则：
$Q_{\hat L\hat L}=(I-P^{-1}A^TN^{-1}A)Q_{LL}(I-P^{-1}A^TN^{-1}A)^T$
接下来是变换的几个关键内容：

由于：$N=AQA^T$为可逆矩阵，则 $(N^{-1})^T=(N^T)^{-1}=[(AQA^T)^T]^{-1}=(AQA^T)^{-1}=N^{-1}$

将上述关系式进行化简：
$\begin{aligned} Q_{\hat L\hat L}&=(Q_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL})(I-Q_{LL}A^TN^{-1}A)^T\\ &=(Q_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL})(I-A^TN^{-1}AQ_{LL})\\ &=Q_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL}+Q_{LL}A^TN^{-1}(AQ_{LL}A^T)N^{-1}AQ_{LL}\\ &=Q_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL}+Q_{LL}A^TN^{-1}NN^{-1}AQ_{LL}\\ &=Q_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL}+Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL}\\ &=Q_{LL}-Q_{LL}A^TN^{-1}AQ_{LL} \end{aligned}$
其余结果可参考下表：
$\begin{aligned} Q_{Z Z} &=\left[\begin{array}{ccccc} Q_{L L} & Q_{L W} & Q_{L K} & Q_{L V} & Q_{\hat{L} \hat{L}} \\ Q_{W L} & Q_{W W} & Q_{W K} & Q_{W V} & Q_{W \dot{L}} \\ Q_{K L} & Q_{K W} & Q_{K K} & Q_{K V} & Q_{K \dot{L}} \\ Q_{V L} & Q_{V W} & Q_{V K} & Q_{V V} & Q_{V \hat{L}} \\ Q_{\hat{L} L} & Q_{\hat{L} W} & Q_{\hat{L} K} & Q_{\hat{L} V} & Q_{\hat{L} \hat{L}} \end{array}\right]\\ &=\left[\begin{array}{ccccc} Q & -Q A^{T} & -Q A^{T} N^{-1} & -Q A^{T} N^{-1} A Q & Q-Q A^{T} N^{-1} A Q \\ -A Q & N & I & A Q & 0 \\ -N^{-1} A Q & I & N^{-1} & N^{-1} A Q & 0 \\ -Q A^{T} N^{-1} A Q & Q A^{T} & Q A^{T} N^{-1} & Q A^{T} N^{-1} A Q & 0 \\ Q-Q A^{T} N^{-1} A Q & 0 & 0 & 0 & Q-Q A^{T} N^{-1} A Q \end{array}\right] \end{aligned}$

条件平差应用

应用	必要起算数据个数d	必要观测数据个数t	测角网中条件方程的列立
水准网	1
测角网	4		图形条件：三角形内角和= 极条件：边长条件 圆周角条件：圆周角为
侧边网	3		图形条件：三角形内角和= 极条件：边长条件 圆周角条件：圆周角为
边角网	3		方位角条件：从一个已知方位角出发，推算到另一个已知方位角，方位角的推算值要与已知方位角相等。方位角条件的个数等于已知方位角的个数-1。 纵横坐标条件 ： 从一个已知点的纵横坐标出发，推算到不同已知点组中另一个已知点时，纵横坐标的推算值要与已知值相等。纵横坐标的条件个数等于多余已知点的个数乘以2-2。 图形条件：三角形内角和= 边长条件：极条件，余弦条件 圆周角条件：圆周角为
单一导线网			方位角条件：从一个已知方位角出发，推算到另一个已知方位角，方位角的推算值要与已知方位角相等。方位角条件的个数等于已知方位角的个数-1。 纵横坐标条件 ： 从一个已知点的纵横坐标出发，推算到不同已知点组中另一个已知点时，纵横坐标的推算值要与已知值相等。纵横坐标的条件个数等于多余已知点的个数乘以2-2。
GPS基线向量网			方位角条件 直角条件 距离条件 面积条件

其中t为必要观测数，p为所有三角点的个数，q为多余起算数据的个数，d为基准个数

一弧度等于多少秒：
$\rho$