计算方法的稳定性
在实际数值计算过程中，由于不可避免地存在和不断产生各种误差，因此计算结果不是绝对精确的。如果误差使得计算结果和实际情况有较大差别或者出现错误的结果，则数值 计算便失去了价值和意义。因此，分析数值计算过程中误差的来源和传递规律，设法控制和减小误差。
1.误差的来源
来源：固有误差（模型误差、观测误差）和计算误差（截断误差、舍入误差）
舍入误差：
设s是r进制数，p是r进制正负整数或零，则形如
并满足
的数x，称为r进制浮点数，且s和p分别称为浮点数的尾数和阶数。
任何一种计算机只能用有限的位数来表示浮点数的尾数和阶数。设
其中为正整数，它们主要由计算机用多少位数来表示阶数而决定。如果尾数的小数尾数为t（t一般比m，M的位数大若干倍），则计算机的数系由一切阶数满足
的t位r进制浮点数的集合F组成。可见，在计算机数系中，数的个数有限，数系中的每一个数都是有理数，且阶数相等的数以相等的距离分布在数轴的某一段上。
由于计算机数系是有限集，不仅无理数等不属于计算机数系，而且一些有理数（如
）也属于计算机数系，因此常常用计算机数系中和它们接近的数来表示它们。同时，在利用计算机进行计算时，由于字长限制，参与计算的数的长度也是有限的，而由此产生的误差，称为舍入误差。
例1：
浮点数F的集合可以用以下4个参数来描述：
其中，为基数，t是精度参数，整数L与U是阶码E（范围）的下限和上限
。
这样，F中的每一个浮点数x的值可表示为：
式中的整数满足
，同时又
（E是整数）。
如果对F中每个非零的x，有，则称浮点数系F为规格化浮点数系。括号中的部分
称为尾数。我们知道，一个实数常用【整数+小数点+尾数】的形式表示，它们在计算机中对应的浮点数
则常用某种整数表示方式（例如以原码、反码或补码的形式）存储。
例2：求十进制数系与计算机采用的二进制数系之间的差别
解：以在许多算法中常被选作步长的十进制0.1为例。在或者为2的幂的浮点数系中，10个0.1的步长并不刚好等于一个1.0的步长。事实上，当把
转换成为以
为底的幂的有限项展开式时，有：
用下标表示数基，如果，则有：
如果，则
由于字长限制，等号右边的值只能取7位。很明显，当把10个这样的数相加时，其结果并不正好是1.0。这就是舍入误差造成的。所以，在计算机上进行的浮点运算（四则运算）只能是近似计算。
观测误差和数据的舍入误差虽然来源不同，但对计算结果的影响完全一样。在数值计算中涉及的误差一般指舍入误差（包含初始数据误差）和截断误差。
2 计算方法的稳定性
计算方法的稳定性是指数值计算中是否稳定的问题。在数值计算过程中，数值解是逐步计算出来的。由于计算机的字长有限，每一步计算都有误差存在，且前一步的舍入误差必然要影响下一步的近似解。如果运算序列的舍入误差不增长。误差的积累或传递对计算结果的影响是可控的，则该算法是数值稳定的，否则是数值不稳定的。
3. 数值计算的基本原则
评价一个数值计算方法优劣的标准：
- 计算时间复杂度（运算次数或计算时间），包括收敛性问题
- 计算空间复杂度（占用计算机存储空间）
- 计算结果精确度（包括稳定性问题）
构造和选择一个好的计算方法：
- 避免两个相近的数相减
在数值计算过程中，两个相近的数相减，会严重损失有效数字，从而使相对误差变大。
如果两个相近的数相减，常采用变换的公式进行计算。如果计算公式不能改变，则采用增加有效数字位数的方法。
- 避免使用绝对值很小的数作分母
- 两个相差很大的数进行运算时，防止大数“吃掉”小数
- 简化计算步骤，减少运算次数
