EM算法原理
EM算法也称期望最大化（Expectation-Maximum,简称EM）算法，它是一个基础算法，是很多机器学习领域算法的基础，比如隐式马尔科夫算法（HMM）， LDA主题模型的变分推断等等。本文就对EM算法的原理做一个总结。

  1. EM算法要解决的问题　　　　
    我们经常会从样本观察数据中，找出样本的模型参数。 最常用的方法就是极大化模型分布的对数似然函数。　　　　
    但是在一些情况下，我们得到的观察数据有未观察到的隐含数据，此时我们未知的有隐含数据和模型参数，因而无法直接用极大化对数似然函数得到模型分布的参数。怎么办呢？这就是EM算法可以派上用场的地方了。　　　　
    EM算法解决这个的思路是使用启发式的迭代方法，既然我们无法直接求出模型分布参数，那么我们可以先猜想隐含数据（EM算法的E步），接着基于观察数据和猜测的隐含数据一起来极大化对数似然，求解我们的模型参数（EM算法的M步)。由于我们之前的隐藏数据是猜测的，所以此时得到的模型参数一般还不是我们想要的结果。不过没关系，我们基于当前得到的模型参数，继续猜测隐含数据（EM算法的E步），然后继续极大化对数似然，求解我们的模型参数（EM算法的M步)。以此类推，不断的迭代下去，直到模型分布参数基本无变化，算法收敛，找到合适的模型参数。　　　　
    从上面的描述可以看出，EM算法是迭代求解最大值的算法，同时算法在每一次迭代时分为两步，E步和M步。一轮轮迭代更新隐含数据和模型分布参数，直到收敛，即得到我们需要的模型参数。　　　　
    一个最直观了解EM算法思路的是K-Means算法，见之前写的K-Means聚类算法原理。在K-Means聚类时，每个聚类簇的质心是隐含数据。我们会假设K个初始化质心，即EM算法的E步；然后计算得到每个样本最近的质心，并把样本聚类到最近的这个质心，即EM算法的M步。重复这个E步和M步，直到质心不再变化为止，这样就完成了K-Means聚类。　　　　
    当然，K-Means算法是比较简单的，实际中的问题往往没有这么简单。上面对EM算法的描述还很粗糙，我们需要用数学的语言精准描述。
  2. EM算法的推导　　　　
    对于m个样本观察数据x=(x(1),x(2),…x(m))中，找出样本的模型参数θ, 极大化模型分布的对数似然函数如下：

    　如果我们得到的观察数据有未观察到的隐含数据z=(z(1),z(2),…z(m))，此时我们的极大化模型分布的对数似然函数如下：

    　上面这个式子是没有 办法直接求出θ的。因此需要一些特殊的技巧，我们首先对这个式子进行缩放如下：

    上面第(1)式引入了一个未知的新的分布Qi(z(i))，第(2)式用到了Jensen不等式：
    或者说由于对数函数是凹函数，所以有:
    f(E(x))≥E(f(x))如果f(x)是凹函数
    此时如果要满足Jensen不等式的等号，则有：

    由于Qi(z(i))是一个分布，所以满足：∑zQi(z(i))=1
    从上面两式，我们可以得到：

    如果Qi(z(i))=P(z(i)|x(i);θ)), 则第(2)式是我们的包含隐藏数据的对数似然的一个下界。如果我们能极大化这个下界，则也在尝试极大化我们的对数似然。即我们需要最大化下式：

    上式中为常数的部分，则我们需要极大化的对数似然下界为：
    也就是我们的EM算法的M步，那E步呢？注意到上式中Qi(z(i))是一个分布，因此∑z(i)Qi(z(i))logP(x(i)，z(i);θ)可以理解为logP(x(i)，z(i);θ)基于条件概率分布Qi(z(i))的期望。　　　　
    至此，我们理解了EM算法中E步和M步的具体数学含义。
  3. EM算法流程　　　　
    现在我们总结下EM算法的流程。　　　
    输入：观察数据x=(x(1),x(2),…x(m))，联合分布p(x,z;θ), 条件分布p(z|x;θ), 最大迭代次数J。
  4. 随机初始化模型参数θ的初值θ0。　　　　
    2） for j from 1 to J开始EM算法迭代：　　　　　　
    a) E步：计算联合分布的条件概率期望：　

    　　b) M步：极大化L(θ,θj),得到θj+1

    　　　c) 如果θj+1已收敛，则算法结束。否则继续回到步骤a)进行E步迭代。　　　　
    输出：模型参数θ。