筛选法
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【题目】
输入一个正整数n(10 ≤ n ≤ 2×109)，输出n以内质数的数目。
【输入样例】
20
【输出样例】
8
【提示】20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19
说明
关于质数的基础知识，可以参考上一篇文章：
求单个质数(素数)的算法(入门篇)
本篇主要介绍筛选法。筛选法有多种，而本篇主要介绍埃氏筛选法(埃拉托斯特尼筛选法)的基本原理，与《入门篇》一样，从简单到复杂，不断优化。
题目概述
在入门篇中已讲解，使用求单个质数的枚举算法去求区间质数，如果区间是[2, 2e7以上]，超时，也提示应使用筛选法。
筛选法的定义
所谓筛选，顾名思义，就是从一组数据中筛选出目标数据。
筛选精细面粉
做糕点需要用到面粉，而做出柔软顺口的糕点，需要用到精细面粉。有时候购买的面粉颗粒大小不一(例如面粉中有结块)，可能还会有杂质，需要把颗粒较大的面粉和杂质过滤掉，此时就用到筛子(如右图)，筛子底部有一层精密网格。把面粉倒在筛子中，通过不断晃动筛子，精细的面粉就会掉下去，而颗粒较大的还在筛子中。
对于筛选一定范围内的质数，就是运用了这一原理，把一组数组放入筛子中，通过筛选后，可以得到质数。
筛选法的过程
要筛选出一个区间内的质数，首先要使用一维数组装载区间内的正整数。
然后通过一定的规则、条件，筛选后剩下的便是质数。
其实，关键就是筛选的规则和条件。
首先要明白，数组的元素不可以删除，不过可以作标记，数组元素的下标表示的是数字本身，而元素的值就是标记。
例如数组a的元素a[2]，下标2代表就是数字2本身，而a[2]的值就是标记。
作标记时，主要有两个值，一个代表质数的标记0，一个代表合数标记1。
筛选前，先把数组所有元素的值初始化为0，表示都是质数。
筛选时，根据一定的规则和条件，通过循环把一个区间的合数都标记为1。
筛选后，通过循环，如果某个元素的值为0，则是质数。
筛选方法
筛选的方法是根据质数的定义来选择，与质数相对应的是合数，而一个质数的倍数肯定是合数。
根据这一原理，通过循环遍历一个区间所有整数时，该数的倍数肯定不是质数，而是合数，此时给该合数标记为1。循环结束后，区间内所有合数被标记为1，而剩下的是原来标记为0的质数。
埃氏筛选法(方法1)
外层循环用于遍历2~2e6之间的所有整数，而内层循环是对当前整数i的j倍的合数标记为1。
对于统计质数数目(判断质数语句)是可以写在外层循环中，就不必另写一个循环了。
注意数据类型的选择，因为内层循环的条件是【i * j <= n】，而i * j的最大值会超过int类型的最大值，所以应选long long类型。
#include
#include
using namespace std;
bool a[200000001];
int main(){
long long n = 2e7, cnt = 0;
int start = clock(); // 开始时间
for (long long i = 2; i <= n; i++) // 遍历2~2e6之间的整数
{
for (long long j = 2; i * j <= n; j++) // j是当前i的倍数
a[i * j] = 1; // 将合数标记为1
if (!a[i]) cnt++; // 如果是质数，则计数器+1
}
int end = clock(); // 结束时间
cout <"共有 " <" 个质数" <endl;
cout <"运行时间：" <1000.0 <"秒";
return 0;
}然而，与入门篇的数据量级一样，都是2e6，筛选法运行时间花销约0.195秒。
再看《入门篇》的方法4，对比一下，筛选法几乎快了一倍。
可惜遗憾的是，对于2e7以上的量级，还是超时。不过，可以对筛选法进行优化。
进一步优化(方法2)
在《入门篇》中，方法4对奇偶数进行优化。同样也适用于筛选法。
因为除了偶数2是质数外，其他的偶数均不是质数。
首先，对于外层循环变量i，直接从3开始，每循环一次递增2。
接着，内层循环变量j，也是从3开始，每循环一次递增2。只有i和j都不是偶数时，它们的乘积才不是偶数。
对于语句【if (!a[i]) cnt++;】，因为i不可能是偶数，所以只是对奇数进行判断。
如此一来，就起到事半功倍的效果。
最后一点需要注意的是，计数器初始化为1，而不是0。因为数字2虽然是偶数，但也是质数。计数器初始为1，就是把数字2先算进去，因为循环是从9开始的。
#include
#include
using namespace std;
bool a[200000001];
int main(){
long long n = 2e7, cnt = 1;
int start = clock(); // 开始时间
for (long long i = 3; i <= n; i += 2) // 遍历3~2e6之间的奇数
{
for (long long j = 3; i * j <= n; j += 2) // j是当前i的倍数
a[i * j] = 1; // 将合数标记为1
if (!a[i]) cnt++; // 如果是质数，则计数器+1
}
int end = clock(); // 结束时间
cout <"共有 " <" 个质数" <endl;
cout <"运行时间：" <1000.0 <"秒";
return 0;
}
方法2与方法1对比，方法2快了3倍以上，虽然还是超时，但已经非常接近1秒内了。
问：循环从9开始，那除了2之外，3~8会被忽略吗？
答：3~8中的偶数都不是质数。前面曾说过，在所有偶数中，只有2才是质数。所以忽略3~8是没有影响的，而且数组a初始化时默认全部标记为0，即标记为质数。
再优化(方法3)
在方法2的基础再优化。内层循环的作用是将i的倍数的合数标记为1，但如果i是合数，是没有必要进行循环，应该换下一个数。
所以，可以在内层循环之前对标记a[i]的值进行判断，如果a[i]等于标记1，说明是合数，执行continue中断本次循环，换一下个数继续判断。
#include
#include
using namespace std;
bool a[200000001];
int main(){
long long n = 2e7, cnt = 1;
int start = clock(); // 开始时间
for (long long i = 3; i <= n; i += 2) // 遍历3~2e6之间的奇数
{
if (a[i]) continue; // 如果是合数，则中断，换下一个数
for (long long j = 3; i * j <= n; j += 2) // j是当前i的倍数
a[i * j] = 1; // 将合数标记为1
if (!a[i]) cnt++; // 如果是质数，则计数器+1
}
int end = clock(); // 结束时间
cout <"共有 " <" 个质数" <endl;
cout <"运行时间：" <1000.0 <"秒";
return 0;
}
对于2e7的量级，可以通过，甚至比方法2快了将近3倍。但如果是2e8或2e9的量级呢？
很明显超时。
以上是埃氏筛选法的基本原理和优化过程。对于2e8以上量级，将在《高级篇》中详细讲解。
因为时间问题，篇幅过长，难免会出现纰漏，请不吝指正。
END
