算法背景
分治算法（divide-and-conquer algorithm）是一种通过把一个复杂的问题分解为若干个相对简单的子问题，并且子问题之间相互独立，求解子问题然后将其组合起来，就得到原问题的解的计算机算法。Java体系中的分治算法主要用来解决大规模问题，能够有效地提高计算效率，减少时间和空间复杂度。
算法流程
大规模问题的解决步骤可以分解成如下步骤：
（1）分解：将大规模的问题，分解成若干个子问题，如果每个独立的子问题，都可以很容易地求解，那么原问题也可以被求解。
（2）求解：递归求解各个子问题，若子问题规模足够小，采用顺序策略对子问题进行求解。
（3）合并：将求解的子问题的结果，合并成原问题的解。
时间复杂度
分治算法的时间复杂度往往为O（nlogn），其中n为待排序的记录个数，而logn为分解的次数。
空间复杂度
一般情况下，分治算法的空间复杂度为O(logN)，其中logN为分解的次数。
优点和缺点
优点
1. 易于实现，算法逻辑简单；
2. 适用于大规模数据，将复杂的问题划分成更小、更简单的子问题，可以有效提高实现效率；
3. java分治算法主要用于求解线性无关解，对于给定解空间，可以在不同的硬件平台上有效的优化运算时间及实现路径；
4. 能够有效的使用系统资源，当系统资源受到限制时，java分治算法下的算法依然可以正常运行；
5. 具有很高的灵活性，能够根据不同的算法情况，采用不同的分治方法。
缺点
1. 分治算法可能产生大量不必要的运算，降低算法效率；
2. 分治算法在解决小规模问题时可能失去优势；
3. 由于该算法依赖于递归，如果存在太多分割，它可能会消耗大量的内存和时间；
4. 分治算法对算法的输入数据要求很高，对于不同的输入数据，它的性能也可能不同；
5. 分治算法要求子问题之间相互独立，因此在实际应用中，可能需要消耗大量的时间去验证问题是否划分正确。
示例代码
public static int divideAndConquer(int[] arr, int low, int high) {
if (low == high)
return arr[low];
int mid = low + (high - low) / 2;
int leftMax = divideAndConquer(arr, low, mid);
int rightMax = divideAndConquer(arr, mid + 1, high);
return Math.max(leftMax, rightMax);
}应用场景
Java分治算法的应用场景有很多，主要有以下几种：
求解最大子数组问题
求解步骤
1. 将原数组分成左右两部分；
2. 计算左边部分的最大子数组和右边部分的最大子数组；
3. 把左右两个最大子数组的最大值求出来；
4. 计算中间最大子数组，包括跨越两个子数组的元素；
5. 最后求左右两个子数组、中间子数组之间的最大值。
代码实现
//下面代码实现了使用分治算法求解最大子数组问题：
public static int maxSubarraySum(int[] arr, int left, int right) {
// 基线条件：只有一个元素
if (left == right) {
return arr[left];
}
int mid = (left + right) / 2;
// 以中点为界，递归计算最大子数组和，左右两边各自一半
int leftMaxSum = maxSubarraySum(arr, left, mid);
int rightMaxSum = maxSubarraySum(arr, mid + 1, right);
// 求跨边界的最大子数组和，成为第三部分
int crossMaxSum = maxCrossingSum(arr, left, mid, right);
// 返回三个部分里面最大的值
return Math.max(crossMaxSum, Math.max(leftMaxSum, rightMaxSum));
}
public static int maxCrossingSum(int[] arr, int left, int mid, int right) {
// 左右两侧的最大值
int leftMaxSum = Integer.MIN_VALUE;
int rightMaxSum = Integer.MIN_VALUE;
// 左侧子数组的和
int sum = 0;
for (int i = mid; i >= left; i--) {
sum += arr[i];
if (sum > leftMaxSum) {
leftMaxSum = sum;
}
}
// 右侧子数组的和
sum = 0;
for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {
sum += arr[i];
if (sum > rightMaxSum) {
rightMaxSum = sum;
}
}
// 返回跨边界的最大值
return leftMaxSum + rightMaxSum;
}求解最长公共子序列问题
求解步骤
使用分治算法求解最长公共子序列（LCS）问题的步骤如下：
1. 将原始序列划分成较小的子序列；
2. 求解这些子序列的LCS；
3. 合并这些子序列的LCS，求出原始序列的LCS。
代码实现
public static String LCS(String x, String y, int m, int n) {
if (m == 0 || n == 0)
return "";
// 若末尾字符相同，则去掉末尾，递归求解
if (x.charAt(m-1) == y.charAt(n-1))
return LCS(x, y, m-1, n-1) + x.charAt(m-1);
// 若末尾字符不同，则求包含x[m]的LCS和不包含x[m]的LCS，取片大的
else
return max(LCS(x, y, m-1, n), LCS(x, y, m, n-1));
}求解活动安排问题
求解步骤
使用分治算法求解活动安排问题的步骤如下：
1. 将活动分成两部分，其中一部分的最后活动的最早结束时间不大于另一部分的第一个活动的最早开始时间；
2. 求解两个子序列的最大可行活动集；
3. 合并两个子序列的最大可行活动集，得到原始序列的最大可行活动集。
代码实现
//下面是Java代码实现：
public static List<Activity> activitySelection(List<Activity> activities, int start, int end) {
if (start == end) {
// 如果这是最后一个活动，则直接返回它
List<Activity> result = new ArrayList<>();
result.add(activities.get(start));
return result;
}
int mid = (start + end) / 2;
// 求左半边的可行活动集
List<Activity> leftResult = activitySelection(activities, start, mid);
// 求右半边的可行活动集
List<Activity> rightResult = activitySelection(activities, mid+1, end);
// 合并可行活动集
List<Activity> result = merge(leftResult, rightResult, activities);
return result;
}求解离线中点问题
求解步骤
1. 将点集分成两部分，求出每部分的最远距离；
2. 找出左右子集的最远距离之间的最小值；
3. 递归地求解子集中的最远距离。
代码实现
//下面是Java代码实现：
public static double findFurthestDistance(Point[] points, int start, int end) {
if (start == end) {
// 如果点的数量只有一个，则距离为0
return 0;
}
int mid = (start + end) / 2;
// 求左子集的最远距离
double leftDistance = findFurthestDistance(points, start, mid);
// 求右子集的最远距离
double rightDistance = findFurthestDistance(points, mid + 1, end);
// 左右子集中最远距离的最小值
double minDistance = Math.min(leftDistance, rightDistance);
// 求左右子集中最远距离
double crossDistance = findCrossDistance(points, start, mid, end, minDistance);
return Math.max(crossDistance, minDistance);
}求解集合覆盖问题
求解步骤
使用分治算法求解集合覆盖问题的步骤如下：
1. 将集合划分为两个子集；
2. 求解子集中的最小覆盖集；
3. 合并子集的最小覆盖集，得到原始集合的最小覆盖集。
代码实现
//下面是Java代码实现：
public static List<Set> setCover(List<Set> sets, int start, int end) {
if (start == end) {
// 如果只有一个集合，则直接返回它
List<Set> result = new ArrayList<>();
result.add(sets.get(start));
return result;
}
int mid = (start + end) / 2;
// 求左半边的最小覆盖集
List<Set> leftResult = setCover(sets, start, mid);
// 求右半边的最小覆盖集
List<Set> rightResult = setCover(sets, mid+1, end);
// 合并子集的最小覆盖集
List<Set> result = merge(leftResult, rightResult, sets);
return result;
}求解距离最近对问题
求解步骤
使用分治算法求解距离最近对问题的步骤如下：
1. 将点分成左右两部分；
2. 求解左右两部分上的最近对；
3. 比较左右两部分最近对和跨越两部分之间最近对，取其中最小值。
代码实现
//下面是Java代码实现：
public static double findClosestPair(Point[] points, int start, int end) {
if (start == end) {
// 如果点的数量只有一个，则距离为无限大
return Double.MAX_VALUE;
}
int mid = (start + end) / 2;
// 求左半边的最近对
double leftDistance = findClosestPair(points, start, mid);
// 求右半边的最近对
double rightDistance = findClosestPair(points, mid+1, end);
// 计算跨越左右边界的最近对
double crossDistance = findCrossDistance(points, start, mid, end);
// 取最小值
double minDistance = Math.min(leftDistance, Math.min(rightDistance, crossDistance));
return minDistance;
}求解最优二叉搜索树问题
求解步骤
使用分治算法求解最优二叉搜索树问题的步骤如下：
1. 将搜索树划分为两个子树；
2. 根据子树中的权重值计算其最优搜索代价；
3. 递归求解子树，并将子树最优搜索代价相加，得到原始搜索树的最优搜索代价。
代码实现
//下面是Java代码实现：
public static int optimalSearchTree(int[] weights, int start, int end) {
if (start == end) {
// 如果只有一个节点，则直接返回该节点的权重值
return weights[start];
}
int mid = (start + end) / 2;
// 求左半边的最优搜索代价
int leftCost = optimalSearchTree(weights, start, mid);
// 求右半边的最优搜索代价
int rightCost = optimalSearchTree(weights, mid+1, end);
// 计算跨越左右边界的搜索代价
int crossCost = crossCost(weights, start, mid, end);
// 取最小值
int cost = Math.min(leftCost + rightCost, crossCost);
return cost;
}代码实现
正面例子
举例如求解一个有序数组中的最大值，可以采用分治算法来求解，将数组拆分成两个子数组，对比两个子数组中的最大值，就可以求出数组的最大值。
反面例子
分治算法不适用于计算结果依赖的前面结果的问题，例如Fibonacci数列，采用分治算法会出现大量重复计算，时间复杂度降低不明显。
