SQL SERVER 怎么讲带小数点的数字转为字符串 sql将数字转化为定点小数

目录

• 一、实数表示的发展历程

• 定点数
• 浮点数

• 二、浮点数的表示方法

• 规格化数
• 特殊值
• 非规格化数

• 三、 浮点数的运算

• 加减运算

• 运算步骤
• 异常处理

• 乘除运算
• 浮点数运算常见问题

一、实数表示的发展历程

实数的表示需要解决小数点的位置表示问题，小数点约定在固定位置的称为定点数，小数点约定为可以浮动的称为浮点数。
（实数包括整数，只是小数问题更难解决）

定点数

定点数（Fixed Point Number）（与浮点数相对应）
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。

定点小数：小数点固定在数最左边
定点整数：小数点固定在数点最右边

例子：
货币的表达；比如 99.00 或者 00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
SQL 中的 NUMBER 数据类型；

定点数的表示参见另一篇文章（待完成）

浮点数

采用科学计数法来表示实数。
用一个尾数（Mantissa ）(更准确的说法是Significand 有效数字），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。
利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数（扩大了整数表示范围，可以表示小数点位置不同的小数）

二、浮点数的表示方法

对任意实数X可以表示成如下形式：
$X = ( -1)^S * M * R ^ E$

各项含义：
S为0/1，用于表示符号，0正1负；
M用二进制定点小数表示，称为X的尾数（mantissa）
E用二进制定点整数表示，称为X的阶/指数（exponent）；阶的编码称为阶码，采用移码形式。
R是基数（radix，base），可以在机器中取2，4，16等（一般为2）

在基数R一定时，尾数M的尾数即X的有效位数，有效位数越多，精度越高。
采用IEEE 754标准float 和double 分别可以精确表示7和17个精确有效数字的十进制数。

阶的值决定了小数点的位置。
阶的范围决定了数X的表示范围（在运算的溢出判断中可以深刻理解这一点）

规格化数

特殊值

非规格化数

三、 浮点数的运算

加减运算

运算步骤

具体分为四个步骤：

（1）对阶
目的：使两个数的阶相等，便于尾数直接进行加减运算
原则：小阶向大阶看齐，阶小的尾数右移，右移的位数等于两个阶的差的绝对值
具体操作：

1. 计算：计算两个阶的差的绝对值
2. 移动：阶小的尾数按照原码小数方式右移，符号位不参与移动，数值位要将隐含的1右移到小数部分，前面空出的位补0；低位移出的位不丢弃，而是存储下来参与计算。

例子：float x = 1.5 , float y = -125.25,计算x+y。
x 机器数为 0 0111 1111 100 0000 0000 0000 0000 0000
y 机器数为 1 1000 0101 111 1010 1000 0000 0000 0000

对阶操作如下：
1.计算两个阶的差的绝对值:

这里用到的知识点有补码公式和移码公式

2.移动：计算得到y的阶比x的阶大6，所以x向y看齐，尾数向右移6位。
所以x阶码变为与y相同，尾数为 0.000001 100 000…000 (后面多出的6位也保留）

（2）尾数加减
对阶后两个浮点数可以直接尾数相加减。即定点原码小数的加减运算。
注意：1.隐藏的1也要参与运算；2.保留的附加位也要参与运算。

（3）尾数规格化
尾数加减后可能会出现不满足规格化形式的数，如1b.bbbb 或者0.001bbbbb，这两种形式分别需要进行右规和左规处理。
1.右规 1b.bbbb
尾数右移一位，阶码加1。
最后一位移出时要考虑舍入？？？

2.左规 0.00001bbb
阶码逐次减1，尾数逐次左移。
有两种情况结束上述操作：
·直到第一位1移动到小数点左边：也就是第一位1作为默认隐藏位
·阶码全为0：也就是非规格化浮点数

（4）尾数的舍入
因为在（1）对阶 或者 （3）中右规时 需要将移出的位保留下来保证运算精度，所以对这部分数作舍入处理，还原结果为标准的IEEE 754格式

1.附加位个数：
IEEE 754 规定所有运算的中间结果都必须至少保留两位附加位，两位附加位在尾数后面：
尾数【保护位guard】【舍入位round】

IEEE 754 为了进一步提高精度还规定可以再加上一位：粘位sticky
只要舍入位右边存在非零数则粘位置1，否则置0；

2.舍入方法：
·就近舍入：一般采用这种方法，精确度最高（默认）
非中间值：0舍1入
中间值：强迫结果为偶数（若舍入前尾数最后一位为0，则不变，否则加1）
舍入结果可能变大也可能变小。

关于舍入误差和可表示数的间隔区间：

·朝正无穷方向舍入：取数轴上右边最近可表示数

·朝负无穷方向舍入：取数轴上右边最近可表示数

·朝0舍入：直接截取

异常处理

主要的异常时指阶码的溢出，产生溢出的原因：
尾数右规或舍入时可能需要阶码加1或者减1，而阶码存在范围（单精度：0000 0001- 1111 1110）。
阶码上溢：如果阶码加1后为全1即为阶码上溢，一般机器通过将结果置为正无穷或者负无穷来处理这种异常；
阶码上溢：如果阶码减1后为全0即为阶码下溢，按照非规格化数处理（尾数不变，阶码全0）

乘除运算

先确定参与运算的操作数是否为规格化浮点数，然后进行乘除运算，规格化，舍入和异常处理。
与加法相比省去了对阶的步骤。

浮点数运算常见问题

2. 大数吃小数——不满足结合律
   具体解释：指在一个较大的数和一个较小的数进行加减运算时，由于需要进行小阶向大阶对阶的操作，阶小的数右规导致有效位数右移后被舍去，结果为大的数本身。
   例子：



4. 不满足交换律
   主要是乘法运算中，大数相乘出现溢出的情况，导致乘法结果为无穷。
   例子：