克莱姆法则java 克莱姆法则三次方程

克莱姆法则 Cramer`s Rule

• 1.什么是Cramer`s Rule
• 2.Cramer`s Rule的具体内容
• 3.Cramer`s Rule的计算效率
• 4.由伴随矩阵引出Cramer`s Rule
• 5.Cramer`s Rule的价值
• 引用：

1.什么是Cramer`s Rule

下面引用百度百科和维基百科的介绍

百度百科：
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer’s Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的

维基百科：
克莱姆法则（英语：Cramer’s rule），又称为克莱姆公式，是一个线性代数中的定理，用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在计算上，并非最有效率之法，因而在很多条等式的情况中没有广泛应用。不过，这一定理在理论性方面十分有效

上面的介绍，说了几个重点：

1. 是线性代数中的一个定理，关于求解线性方程组的，用行列式来计算出线性等式组中的所有解，适用于变量和方程数目相等的线性方程组。
2. 在计算上，并非最有效率之法；相较于消除法（高斯消元法），具有更高的复杂度。
3. 但是这一定理在理论性方面十分有效 。

这是对克莱姆法则的总体评价。

2.Cramer`s Rule的具体内容

n元非齐次线性方程组中：
$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} & & & & \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} & & & & \\ \vdots \;\;\cdots\;\;\vdots\;\;\;\cdots\;\;\vdots\;\cdots\;\vdots\;\;\cdots\;\;\;\vdots & & & & \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n} & & & & \\ \end{matrix}\right.$
系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即
$D=\begin{vmatrix} a_{11}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\a_{21}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\a_{n1}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix}$
若线性方程组的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组有唯一解，其解为
$x_{j}=\frac{D_{j}}{D\;\;} (j=1,2,\cdots,n)$
其中$D{j}$是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。如：
$D_{1}=\begin{vmatrix} b_{1}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\b_{2}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\b_{n}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix} , D_{2}=\begin{vmatrix} a_{11}\; \;b_{1}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\a_{21}\; \;b_{2}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\a_{n1}\; \;b_{n}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix} ,\cdots$

以上就是克莱姆法则的内容，使用时有如下前提：

1. n元非齐次线性方程组

• n元：未知数x的个数为n， 方程的个数为n
• 非齐次： $b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}$不全为0
• 线性：x的最高次幂为1，即多元一次

2. 系数行列式$D≠0$,保证方程解的唯一性

方程的个数和未知数个数不相等的话，系数无法构成行列式$D$

方程组的等式右边的b值全部为0，则行列式$D_{i}(i=1,2,...,n)$都为0

$D=0$，则$x_{j}=\frac{D_{j}}{D\;\;}$没有意义

可见，克莱姆法则在使用上有很多的限制。

3.Cramer`s Rule的计算效率

n元非齐次方程组，需要计算的行列式有：

• 系数行列式$D$
• 行列式$D_{i}(i=1,2,...,n)$

即n+1个行列式，其渐近的复杂度为O（n·n！）

相较于高斯消元法，克莱姆法则是低效的，实际应用不广泛。

4.由伴随矩阵引出Cramer`s Rule

n元线性方程组可以表示为：
$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$
$\mathbf{A}$为方程组的系数矩阵，$\mathbf{b}$为向量$(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})^{T}$，若$D≠0$，则$\mathbf{A}$可逆，由矩阵性质可得，
$\mathbf{A^{-1}}\mathbf{Ax} = \mathbf{A^{-1}}\mathbf{b}\;\;\Rightarrow\;\;\mathbf{x} = \mathbf{A^{-1}}\mathbf{b}$

则接下来的关键，就是要求出$\mathbf{A}^{-1}$，有两种方法：

1. 初等变换法
2. 伴随矩阵法

初等变换法，借助消除法(高斯消元法)，简单高效

伴随矩阵法，计算起来比较复杂，但是可以借此引出克莱姆法则。

设$\mathbf{A}$为n阶矩阵，$|\mathbf{A}|$为矩阵A的行列式，$\mathbf{A}^{*}$为矩阵的伴随矩阵
$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\a_{21}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\a_{n1}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{bmatrix},\;\;\; |\mathbf{A}|=\begin{vmatrix} a_{11}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\a_{21}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\a_{n1}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix}$
$\mathbf{A}^{*}=\begin{vmatrix} \mathbf{A}_{11}\;\;\mathbf{A}_{21}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{n1} \\\mathbf{A}_{12}\;\;\mathbf{A}_{22}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{n2} \\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\\mathbf{A}_{1n}\;\;\mathbf{A}_{2n}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{nn} \end{vmatrix}$
其中$\mathbf{A}_{ij}(i,j\in1,2,...,n)$为$|\mathbf{A}|$的代数余子式。

由行列式的拉普拉斯展开，可得
$|\mathbf{A}|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$

或

$|\mathbf{A}|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$
$i,j\in(1,2,\cdots,n)$.

代数余子式在这里有一个特点，一行（或列）的子式与另一行（或列）的代数余子式的乘积之和为零。即：

$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0，（i \neq j）$
$a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0，（i \neq j）$

故而，可推出：
$\mathbf{A}\mathbf{A^{*}}=\mathbf{A^{*}}\mathbf{A}=\begin{vmatrix} \mathbf{|A|}\;\;0\;\;\cdots\;\;0\;\; \\\;\;0\;\;\mathbf{|A|}\cdots\;\;0\;\; \\\cdots\cdots\cdots\cdots \\\;\;0\;\;\;\;0\cdots\;\;\mathbf{|A|} \end{vmatrix}=\mathbf{|A|}\:\mathbf{I}$
$\mathbf{A^{*}}$巧妙的地方就在这，被构造出来的按照特定的顺序排列的代数余子式矩阵，跟矩阵$\mathbf{A}$相乘之后，居然能够得到一个标量乘以单位矩阵$\,\mathbf{ I}$，等式两边除以标量$\mathbf{|A|}$，得，
$\mathbf{A}\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}=\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}\mathbf{A}=\mathbf{I}\;\;\Rightarrow \;\; \mathbf{A^{-1}}=\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}$

从而，
$\mathbf{x} = \mathbf{A^{-1}}\:\mathbf{b}=\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}\:\mathbf{b}$

到了这一步，克莱姆法则的推导就要呼之欲出了
对于方程组来说，系数矩阵的行列式$\mathbf{|A|}=D$，那$\mathbf{\;A^{*}}\:\mathbf{b}$跟$D_{1},D_{2}，\cdots,D_{n}$又有什么关系呢？
如下：

$\mathbf{A}^{*}=\begin{vmatrix} \mathbf{A}_{11}\;\;\mathbf{A}_{21}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{n1} \\\mathbf{A}_{12}\;\;\mathbf{A}_{22}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{n2} \\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\\mathbf{A}_{1n}\;\;\mathbf{A}_{2n}\;\;\cdots\;\;\mathbf{A}_{nn} \end{vmatrix}, \mathbf{b}=\begin{bmatrix} b_{1} \\b_{2} \\\vdots \\b_{n} \end{bmatrix} \Rightarrow \mathbf{A}^{*}\mathbf{b}=\begin{bmatrix} b_{1}\mathbf{A_{11}}+b_{2}\mathbf{A_{21}}+\cdots+b_{n}\mathbf{A_{n1}} \\b_{1}\mathbf{A_{12}}+b_{2}\mathbf{A_{22}}+\cdots+b_{n}\mathbf{A_{n2}} \\\cdots \\b_{1}\mathbf{A_{1n}}+b_{2}\mathbf{A_{2n}}+\cdots+b_{n}\mathbf{A_{nn}} \end{bmatrix}$
而，
$b_{1}\mathbf{A_{11}}+b_{2}\mathbf{A_{21}}+\cdots+b_{n}\mathbf{A_{n1}}=\begin{vmatrix} b_{1}\; \;a_{12}\; \; \cdots\; \;a_{1n} \\b_{2}\; \;a_{22}\; \; \cdots\; \;a_{2n} \\\vdots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots \\b_{n}\; \;a_{n2}\; \; \cdots\; \;a_{nn} \end{vmatrix}=D_{1}$
故，
$\mathbf{A}^{*}\mathbf{b}=\begin{bmatrix} D_{1} \\D_{2} \\\vdots \\D_{n} \end{bmatrix}$
代入$\mathbf{x} =\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}\:\mathbf{b}$中，得，

$\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n} \end{bmatrix}=\frac{1}{D}\begin{bmatrix} D_{1} \\D_{2} \\\vdots \\D_{n} \end{bmatrix}=\frac{\mathbf{\;A^{*}}}{\mathbf{|A|}}\:\mathbf{b}$

最后可得：
$x_{1}=\frac{D_{1}}{D\;\;} ,x_{2}=\frac{D_{2}}{D\;\;},\cdots,x_{n}=\frac{D_{n}}{D\;\;}$
由此，可得到克莱姆法则的表达式

由伴随矩阵得到了逆矩阵，也由伴随矩阵推导出了克莱姆法则

5.Cramer`s Rule的价值

• 研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系。
• 与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
• 克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用。

先考虑两条等式$F(x, y, u, v) = 0\,$和$G(x, y, u, v) = 0\,$。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我们可定义$x = X(u, v)\,$和$y = Y(u, v)\,$。

找出一条等式适合$\partial x/\partial u$是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算$F$、$G$、$x$和$y$的导数：

$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0$
$dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0$
$dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv$
$dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv$

将$dx$和$dy$代入$dF$和$dG$，可得出：

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0$

$dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0$
因为$u$和$v$互不相关，所以$du$和$dv$的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}$

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}$

现在用克莱姆法则就可得到：

$\cfrac{\partial x}{\partial u} = \cfrac{\begin{vmatrix} -\cfrac{\partial F}{\partial u} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ -\cfrac{\partial G}{\partial u} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cfrac{\partial F}{\partial x} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ \cfrac{\partial G}{\partial x} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}$
用两个雅可比矩阵来表示的方程：

$\cfrac{\partial x}{\partial u} = - \cfrac{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}$
用类似的方法就可以找到$\frac{\partial x}{\partial v}$、$\frac{\partial y}{\partial u}$以及$\frac{\partial y}{\partial v}$。

引用：

1.百度百科: 克莱姆法则.
2.维基百科: 克莱姆法则.