gradient计算双变量函数 Python 双变量公式

关于高考函数双变量问题处理方法：交叉放缩

$\mathtt{By}$ $\space{}\mathfrak {transfornet\_2005}$

1.一点说明

所有关于函数的涉及到两个变量的问题都可以被称为双变量问题，我们这里所说的双变量问题是指函数（或它的n阶导数）两个零点之间的关系，也即形如
$F(x_1,x_2) \sim k$
的问题。它包括但不限于极值点偏移类问题。有人也把它叫做脱胎于极值点偏移的双变量问题。

2.理论

关于双变量问题我们有两种处理方法。

1.转换为单变量
2.交叉放缩

这里的“主要”甚至可以去掉。读者马上可以看到，你们课堂上老师讲的各种方法实际上都可以归为这两类。

交叉放缩基本思想：

如果一个函数$f(x)$的两个零点$x_1,x_2$的不等关系,比如$x_1-x_2<k$,不容易证明，我们可以构建出一个新的函数$g(x)$,使得$g(x)$的两个零点$x_3,x_4$满足$x_1<x_3,x_2>x_4$且容易证明$x_3-x_4<k$，那么我们就有$x_1-x_2<x_3-x_4<k$。

分的再细一点

1.转换为单变量

• 将$x_1,x_2$转换到同一个单调区间内部。再利用函数的单调性去解决。
• 将$x_1,x_2$用同一个变量$t$去表示，再将问题转化为单元不等式证明。

2.交叉放缩

这个方法实际上是使用一个或两个函数去拟合原函数

• 双边不等式
• $\mathtt{Taylor}$展开拟合、$\mathtt{Pade}$逼近
• 线性函数拟合
• 松弛法

这些方法大多数时候需要组合起来使用以提高放缩的精度

下面以一道笔者学校的试题为例展示上述方法。

已知函数$f(x)=(x+1)(e^{x}-1).$

• 求$f(x)$在$(-1,f(-1))$处的切线方程。
• 求$a\leq{e-1}$，求证:$f(x)\geq{alnx+2ex-2}. \space (x\geq 1)$
• $f(x)=b$ 有两个实数根$x_1,x_2(x_2>x_1)$,求证：$x_2-x_1\leq 1+\dfrac{b+e+1}{3e-1}+\dfrac{eb}{e-1}$

$\operatorname{\mathfrak{solve.}}$
$\mathbb{(1)}\space{}$ $l:y=(\dfrac{1}{e}-1)(x+1).$

$\mathbb(2)\space{}$ $(a\leq e-1)\wedge(x\geq 1) \Rightarrow RHS\leq (e-1)lnx+2ex-2\leq (e-1)(x-1)+2ex-2=(e-1)(x-1)+2(ex-1)<=(e^{x}-1)(x-1)+2(e^{x}-1)=(e^{x}-1)(x+1)=f(x)=LHS.$

上面两问都很简单，用不等式放缩都可以轻松解决，这题主要难度是第三问，我尝试给出一种解法，若有遗漏评论区可以补充。

$\mathfrak{Proof }.$ 我们注意到$f(x)$是先减后增的单峰函数，并且有两个零点，我们可以尝试利用函数$f(x)$两点处的切线进行交叉放缩。令$p(x)=(\frac{1}{e}-1)(x+1)\\ q(x)=(3e-1)x-e-1.$若$p,q$与$y=b$的交点分别为$x_3,x_4$，易得
$x_1>x_3,x_2<x_4$

且$x_3=-1+\frac{eb}{-e+1}\\ \\ x_4=\frac{b+e+1}{3e-1}$

所以$x_2-x_1<x_4-x_3=1+\dfrac{b+e+1}{3e-1}+\dfrac{eb}{e-1}$

证毕。

这里选取的不等式是两支线性不等式，显然可以选取其他函数拟合，但是会使中间零点的求解变得复杂，当然，可以获得更高的精度。