机器学习 偏微分方程 偏微分方程论

1.定义

关于未知函数 \(u=u(x_1,x_2,...,x_m)(m>2)\)的偏微分方程是指$$$F=(x,u,u_{x_1},...,u_{x_m},u_{x_1x_1},..,u_{x_1x_m},...)$$$即，F是\(x,u\),以及\(u\)的有限个偏微商的函数.
n阶偏微分方程：\(F\) 中含有 \(u\) 的偏导数的最高阶数为 \(n\)
线性偏微分方程：\(F\) 关于\(u\) 及其偏导数是线性的
\(\qquad\) m 维空间中，二阶线性pde一般形式为：$$\sum {i,j=1}^m a\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad(1)$$其中 \(a_{ij}=a_{ji},b_i,c,f\) 都是\((x_1,x_2,...,x_m)\)的函数

2.三类主要方程

主要的三类方程

$\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f \quad (波动方程、双曲线)\qquad(2) $$\]$

$\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f \quad (热传导方程、抛物型)\qquad(3)$

$\[\]$

$-\Delta u=f \quad (位势方程、椭圆形)\qquad(4)$

$\[其中$\Delta为Laplace$算子，$\Delta=\sum\limits _{i=1}^m \frac {\partial^2}{\partial {x_i ^2}},f为(x_1,x_2,...,x_m,t)或者(x_1,x_2,...,x_m)$的函数，$a^2$为常数. 这三类方程都是二阶线性偏微分方程$$\qquad\qquad\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad\]$

$令 \(A=(a_{ij})_{i,j=1,2,\cdots,m}\)， 从而从矩阵A的特征值的性质来考察三类方程：$

$(1) 对于波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f\), 取 \(m=n+1,t=x_{n+1}\),则\[A=\begin{bmatrix} {-a^2}&{}&{}&{}\\ {}&{\ddots}&{}&{}\\ {}&{}&{-a^2}&{}\\ {}&{}&{}&{1}\\ \end{bmatrix}\] A的特征值除了有一个为正（或负），其它全为负（或正），A为不定（或负定）。$

$(2) 对于热传导方程 \(\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f\)， 取 \(m=n+1,t=x_{n+1}\),则\[A=\begin{bmatrix} {-a^2}&{}&{}&{}\\ {}&{\ddots}&{}&{}\\ {}&{}&{-a^2}&{}\\ {}&{}&{}&{0}\\ \end{bmatrix}\] A的特征值除了有一个为0以外，其它全为正（或负），A为非正（或非负）。$

(3) 对于位势方程 \(-\Delta u=f\)，
取 \(m=n\),则

$\[A=\begin{bmatrix} {-1}&{}&{}\\ {}&{\ddots}&{}\\ {}&{}&{-1}\\ \end{bmatrix}$$A的全部特征值全为正（或负），**A为正定（或负定）**。$

$# 二阶方程的分类 二阶线性偏微分方程$$\qquad\qquad\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad\]$

椭圆：\(A(x_0)\)的特征值全为正（或负)，称方程为椭圆型。
$\(\qquad\)位势方程\(-\Delta u=f\) 为椭圆形方程的标准型。$
抛物型：\(A(x_0)\)的特征值除了有一个为 0 以外，其它 \(m-1\) 个全为正（或负)，称方程为抛物型。
\(\qquad\) 热传导方程 \(\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f \quad\)为抛物型方程的标准型。
双曲型：\(A(x_0)\)的特征值除了有一个为负（或正)，其它 \(m-1\) 个全为正（或负)，称方程为双曲型。
$\(\qquad\) 波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f\)$

若对于区域 \(\bar{\Omega}\)上的每一点均成立，则称方程在区域 \(\bar{\Omega}\)上是椭圆形的

一个重要定理

注：（3.4） 代表方程（1），（3.1）-（3.3）分别代表（2）-（4）

注：

解的适定性的概念

如果定解问题的解存在、唯一且稳定，则称定解问题为适定的。

【解的稳定性】

解是否连续依赖于定解数据

【度量】

通过线性赋范空间的概念，确切的给出解的稳定性的概念。