高维偏微分方程 机器学习 偏微分方程的维数

文章目录

• 1. 一些定义

• 1.1 Order
• 1.2 Degree
• 1.3 Linear
• 1.4 Homogeneous
• 1.5 常用的偏微分方程

• 2. 简单偏微分方程的解法

• 2.1 ODE回顾
• 2.2 例1
• 2.3 例2

微分方程可以粗略地分为常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE），常微分方程只有一个自变量，这个自变量通常为时间；偏微分方程则有多个自变量

1. 一些定义

1.1 Order

偏微分中最高阶导数的阶（Order）就是偏微分的阶

图中三个偏微分方程的阶都是3，可以看到，红色部分的阶就是最高阶

1.2 Degree

偏微分方程最高阶导数的指数，即为这个方程的degree

上图的degree为5

这里虽然有更高的指数，但注意我们取的是最高阶导数的指数，所以是4

1.3 Linear

如果一个偏微分方程的系数都是自变量或常数，即所有的未知函数和偏导数都是线性的，则称其为线性偏微分方程，示例如下：

相反，如果有非线性的偏导数，那么它就不是线性的，示例如下：

1.4 Homogeneous

我们称一个所有项的degree都相同的偏微分方程为齐次偏微分方程，注意，这里的项要和1.2中提到的区分开来，在这里，一个项的degree不是只看最高阶导数的，示例如下：

上面是两个齐次偏微分方程，右边的式子中，$u_xu_{yx}$被视为一个二次项

接下来是两个非齐次的偏微分方程，一个线性，一个非线性，示例如下：

这里要注意，单独一个未知量x与u的degree是不同的

1.5 常用的偏微分方程

我们在工程中主要使用的拉普拉斯，波动方程，热力方程都是线性齐次的偏微分方程

他们的表达式如下：

2. 简单偏微分方程的解法

2.1 ODE回顾

解偏微分方程的思想之一是将其转化为常微分方程，这里简单回顾一下常微分方程的解法：

假设我们有一个ODE：$y$
当a,b都为常数时，这个常微分方程的特性方程为$\lambda^2+a\lambda+b$

解出方程的解$\lambda_1, \lambda_2$

如果根为不相等的两个实数，则通解为：
$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$

如果根为两个相等的实数，则通解为：
$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$

如果根为一对共轭的复数$\lambda$, $\overline{\lambda}$，则通解为：
$y=e^{Re(\lambda)x}[c_1cos(Im\lambda x)+c_2sin(Im\lambda x)]$

2.2 例1

有$u_{xx}-u=0,$u是自变量为x和y的函数
由于里面没有对y求导的项，我们可以将其当作形如$u$的ODE来解，操作如下：

由$u$，得
$\lambda^2-1=0$
上式可以解出两个不相等的实数根$-1,1$，因此，得到ODE的通解为
$u=Ae^x+Be^{-x}$
这里的A和B可能是参数为y的函数，因此最终得到的结果为
$u(x,y)=A(y)e^x+B(y)e^{-x}$
如果遇到$\frac{u_X}{u}$之类的东西，记住
$\int({\frac{u_x}{u}}）=log$

2.3 例2

我们并不能总是将PDE当作ODE来计算，毕竟不是每个式子都只对一个参数求导的。但是，对两个参数求导的式子通常会给出多种情况，这时，我们可以用分离变量法找到PDE的解

假设一个PDE满足上图的两种情况，对此，我们首先将u(x,y)表达为

$u(x,y)=X(x)Y(y)$

微分的转化关系为

$\frac{\partial u}{\partial x}=X$

$\frac{\partial u}{\partial y}=Y$

额外的，还有

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=X$

将变量分离后的u代回到原式中，得到

$\frac{X$

这里的c是一个常数？？？，因此，我们推导出

$X$

$Y$

上面两个式子就是两个标准的ODE，解出

$X(x)=Ae^{4cx}$

$Y(y)=Be^{cx}$

其中的c,A,B可以是任意的常数

找到X(x)和Y(y)后，PDE的表达式可以写成

$u(x,y)=ke^{c(4x+y)}$

其中$k=AB$

接着，我们需要将之前列出的另一种状态代入这个表达式中
让$u_1(x,y)=k_1e^{c_1(4x+y)}$满足$u(0,y)=8e^{-3y}$，可以得到
$k_1e^{-3y}=8e^{-3y}$
解出$k_1=8$,$c_1=-3$，得到
$u_1(x,y)=8e^{-3(4x+y)}$

用同样的方法，假设
$u_2(x,y)=k_2e^{c_1(4x+y)}$
$u(0,y)=4e^{-5y}$
可以得到$k_2, c_2$
$u_2(x,y)=4e^{-5(4x+y)}$
根据线性齐次PDE的定义，得到
$u(x,y)=u_1(x,y)+u_2(x,y)$

工程中常用到的波动方程就是用这种分离变量法求解的