正态总体样本的抽样分布R语言 正态总体下的抽样分布

1.正态总体下常见的抽样分布

正态总体下常见的抽样分布意思是：样本来自服从正态分布的总体中，从样本中抽样后得到的分布

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1.1 单个正态总体下的抽样分布：正态分布

设总体 $X\sim N(\mu，\sigma^2)$，$X_1，X_2，\cdots，X_n$ 是来自总体X的样本（独立且同分布），样本均值为 $\bar{X}$

样本均值服从的分布为：$\bar{X} \sim N(\mu，\frac{\sigma^2}{n})$（正态分布）

服从正态分布的各个随机变量线性组合仍为正态分布

可以将样本均值（随机变量）标准化：

$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

若将上述标准化后的随机变量进行平方，则处理后服从自由度为1的卡方分布

$\big(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\big)^2\sim \chi^2(1)$

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1.2 单个正态总体下的抽样分布：自由度为 n 的卡方分布

设总体 $X\sim N(\mu，\sigma^2)$，$X_1，X_2，\cdots，X_n$ 是来自总体X的样本（独立且同分布）

若将每个样本（随机变量）进行标准化后平方再进行加和，则服从自由度为n的卡方分布

$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n)$

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1.3 单个正态总体下的抽样分布：自由度为 n-1 的卡方分布

设总体 $X\sim N(\mu，\sigma^2)$，$X_1，X_2，\cdots，X_n$ 是来自总体X的样本（独立且同分布），样本均值为 $\bar{X}$，样本方差为 $S^2$，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立

下图来自《统计学图鉴》中对自由度的理解

样本方差$S^2$本身是不遵循概率分布的，为了能让它遵循卡方分布，我们需要将其变换为与样本方差$S^2$成比例的统计量（卡方分布）
$\frac{nB_2}{\sigma^2}=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$

注意区分下图中两个式子：
区别：一个是总体均值（数值）$\mu$，一个是样本均值（随机变量）$\bar{X}$
$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n)\\ ~\\ \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$

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1.4 两个正态总体下的抽样分布：自由度为 n 的 t 分布

$\frac{X}{\sqrt{\frac{Y_1^2+Y_2^2+\cdots+Y_n^2}{n}}}\sim t(n)$

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1.5 单个正态总体下的抽样分布：自由度为 n-1 的 t 分布

设总体 $X\sim N(\mu，\sigma^2)$，$X_1，X_2，\cdots，X_n$ 是来自总体X的样本（独立且同分布），样本均值为 $\bar{X}$，样本方差为 $S^2$，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立

$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
若将上述随机变量平方，则其服从F分布
$\big(\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\big)^2\sim F(1,n-1)$

1.6 小结：单个正态总体下的抽样分布

1.7 两个正态总体下的抽样分布：自由度为 $n_1+n_2-2$

1.8 两个正态总体下的抽样分布：$F(n_1-1，n_2-1)$