这次博客的话，我就来讲个比较……怎么说呢，经典的数论问题——快速幂吧。（事实上是我A了13年NOIP的转圈游戏）
平常我们计算n^k怎么计算呢，相信大家会经常使用下面的代码
1 int x = n;
2 for(int i = 1;i <= k; ++i){
3 x = x*n;
4 }那么x就是我们想要的结果，不难看出这个方法就是O（n）的算法，大家都会感觉这个复杂度很好了，但是就偏偏有那么一种题目（1≤k≤10^9甚至更加坑爹），非得卡这个时间复杂度让你超时，这样的话怎么办呢？
这时候我们先来回顾一下我们初中的数学知识：关于幂的运算
a^n = (a^b)^c(b*c = n); a^m(m = n+d)=a^n * a^d;
这是两个初中学的幂运算的知识，然后就有一群人根据这个还有自然数的一个性质（自然数只分为奇数和偶数，也就是一个自然数可以表示成2*n或者2*n+1，n为自然数）就搞出来了一种高效的而且简单易懂的算法——快速幂
对于计算n^k的问题，通常人们不会那么变态，让你直接算出来（那怎么着都最起码要高精度了），出题人通常会让我们对于结果取一个模，然后输出模后的结果。这样的话，我们的快速幂的思想就是在下面给出：
对于求解n^k mod m的问题（不知道mod的请回去看小学除法中的余数问题），我们可以这样来想：
k要么是奇数，要么是偶数。那么我们就用到数学上的分类讨论思想了：
首先我们需要一个tot计数，我们为了求MOD，就直接在运算中求就可以了（tot初始值为1）
（1）如果k是偶数，那么n直接平方然后让n对m取模（n*=n %m），用k除以2去替代k的值；
（2）如果k是奇数，那么这时候tot要乘上n（因为这时候k=2p+1，p∈N，n^k=n^2p*n）再对m取模，n平方后再对m取模，最后也是用 k除以2向下取整 去替代k的值；
按照上两步递归或者迭代求解直至k=0的时候结束，这时tot变量里面的值便是题目要求的值。
大家可以看一下，这个快速幂的算法其实是比朴素算法更加高效的，它的时间复杂度为O(logk)级别（请大家自己算一下，是不是这个时间复杂度）。
上面就是快速幂算法的思想，其实它是一个很简单的数论问题。
不多说了，还是老话：
…………………………………代码最重要…………………………………………
（实际上是因为大多数人都是看代码去理解的，其实我并不建议这样，应该先去看思想，但是没办法，只能说是附上代码，我的代码只有递归的，迭代的代码还是请大家自己去写）
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <algorithm>
4 #include <cstring>
5 #include <cmath>
6 using namespace std;
7 long long n,m,k,ans,tot = 1;
8 void ksm(long long a,long long b,long long c){
9 long long d,e;
10 d = b % 2;
11 e = b / 2;
12 if(b == 0)return;
13 if(d == 0){
14 a = a * a % c;
15 ksm(a,e,c);
16 }
17 if(d == 1){
18 tot = tot * a % c;
19 a = a * a % c;
20 ksm(a,e,c);
21 }
22 }
23 int main(){
24 scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
25 ksm(n,m,k);
26 cout << tot;
27 return 0;
28 }View Code
以上就是快速幂算法的代码，当然也可以写int返回值的函数，大家可以自己写一下
另外想要NOIP2013提高组 day1 T1 的题解的，我把代码放在地板下（但是我个人建议还是先自己做，实际上那只是一道快速幂的水题，先不要看我的题解，你最起码得AC 4 个点然后或者是不会的时候再看，否则一点收获都没有，我的代码可是纯自己手动写的）：
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <algorithm>
4 #include <cstring>
5 #include <cmath>
6 using namespace std;
7 long long n,m,k,x,ans,tot = 1;
8 void ksm(long long a,long long b,long long c){
9 long long d,e;
10 d = c % 2;
11 e = c / 2;
12 if(c == 0)return;
13 if(d == 0){
14 b = b * b % a;
15 ksm(a,b,e);
16 }
17 if(d == 1){
18 tot = tot * b % a;
19 b = b * b % a;
20 ksm(a,b,e);
21 }
22 }
23 int main(){
24 scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &k, &x);
25 ksm(n,10,k);
26 x = (x + m * tot) % n;
27 cout << x;
28 return 0;
29 }View Code
这次的关于快速幂的讲解就到这里吧，希望大家认真看，这个算法在NOIP中是很实用的，当然也得看好题，然后决定使用什么算法
