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文章标签 python 运筹学 pulp 线性代数运筹规划优化问题 文章分类 Python 后端开发

运筹学 — 概述

概述

概述

主要研究人类对各种资源的运用及筹划，在满足一定约束的条件下，以期发挥有限资源的最大效益，达到总体最优的目标－－所谓运筹帷幄
最初由钱学森老先生引入中国，据说最开始的用途是优化航空／军工等领域。

别名

数学规划 (math programming)、优化 (optimization)、最优化理论、决策科学(Decision Science)等。

历史An Annotated Timeline of Operations Research - An Informal History | Saul I. Gass

1979年

电子表格和OR插件问世

世界上第一个电子表格软件VisiCalc于1979年10月问世，从那时起，OR相关插件也被引进，可以做例如线性、非线性和整数规划。随后，Excel、Lotus和Quattro Pro等电子表格也引入OR插件。

Computers and Intractability; A Guide to the Theory of NP-Completeness 巨著问世

整数规划等问题被归类到NP难问题。

1980年

Constraint Programming 引起运筹学重视

源于计算机科学和人工智能领域，被发现可以用来高效地求解优化问题，特别是排序和调度问题。

Total Unimodular矩阵的分解定理

TU矩阵被证明有很好的性质，当整数规划的系数矩阵为TU并且系数为整数时，其线性规划松弛解被证明与原问题等价（即多项式时间可解）。

LINDO软件问世

LINDO软件由Linus E. Schrage主要开发，可以解线性及整数规划问题。

1981年

模拟褪火（Simulated annealing）算法面世

该算法是以统计物理为原理的优化算法，用来解决NP难的组合优化问题。

分离问题（Separation Problem）和优化问题的等价性

定理概述：如果分离问题可以被多项式时间可解，那么原优化问题也是。

1982年

数学建模软件GAMS面世

优化求解器在此之前已经存在，但是需要较深的运筹学背景才能高效使用。由J. Bisschop研发的GAMS解决了这一痛点，让运筹学建模平民化。

单纯型法（Simplex method）的平均运算时间

虽然单纯型法是一种指数级复杂度的算法，但是在实际使用中被发现特别高效。

1984年

线性规划经典算法内点法（interior method）的证明

不同于单纯型法从一个极点跳到另一个极点，内点法从多面体的内部点进行搜索。

神经网络模型（Neural networks）被用来解优化问题

NN被J.J. Hopfield和D.W. Tank用来解决组合优化经典问题旅行商问题（Travelling Salesman Problem）。

1985年

组合优化经典算法：分支分割法（Branch and cut）被世人熟知

M. Padberg和他的共同作者证明B&C方法是解决旅行商问题最promising的方法。

1986年

元启发经典算法Tabu search问世

这个算法不断得修改搜索区域以试图跳出局部最优解，由Fred Glover在1986年的论文率先提出了该名词“Tabu search”。

Theory of Linear and Integer Programming著作问世

1989年

供应链管理（Supply chain management）及运筹学的作用被世人熟知
运筹学顶刊之一的Informs Journal on Computing建刊
Stochastic modeling and the theory of queues, by R. W. WOE, Rentice Hall, Engle 出版

随机优化和排队论的巨著。

1990年

运筹学在金融工程、市场的应用被熟知

运筹学早就被应用于资产配置优化问题，但是数学规划和蒙特卡罗模拟等方法开始被应用于例如衍生品定价、交易策略、对冲基金策略等问题。

Operations Analysis in the United States Army Eighth Air Force in World War II (History of Mathematics) : Charles W. McArthur 著作问世

1993-1994

NETWORK FLOWS Theory, Algorithms,and Applications 1993年问世

网络流的经典教材，作者James B. Orlin, Ravindra K. Ahuja, and Thomas L. Magnanti，我在Clemson上该门课的参考书籍。

NEOS (Network-Enabled Optimization System) 1994年问世

NEOS是一个开源免费的网络优化系统，集合了众多优化求解器。

Markov Decision Processes: Discrete Stochastic Dynamic Programming 著作1994年问世

1995-1996

ORSA和TIMS 于1995年合并为INFORMS
Scheduling - Theory, Algorithms, and Systems | Michael L. Pinedo 著作于1995年问世
Monte Carlo - Concepts, Algorithms, and Applications | George Fishman 于 1996年问世

1999-2004

INFORMS旗下期刊Manufacturing & Service Operations于1999年建刊
Foundations of Inventory Management (January 24, 2000 edition)著作于2000年问世
Combinatorial Optimization - Polyhedra and Efficiency | Alexander Schrijver 著作于2003年问世
2004年MIT运筹学中心（ORC）建立50周年

流程

问题定义、搜集Data

决策者
目标
限制

建立数学模型

决策变数
目标函数
限制条件

发展解法

有系统的求解过程

测试修正

解是否合理

准备应用

开发软件
人事安排
建立资料库

正式实施

运筹学学科、专业

数学系运筹学专业–（非）线性规划，整数规划，多目标优化，最优化理论等
工商管理学院（School of Management）管理科学（Management Science）与工程专业–管理决策、供应链等
工程学院工业工程(Industrial Engineering)、物流工程专业–生产流程优化、物流、运输等
计算机学院理论计算机专业–偏算法方向，近似算法、遗传算法等
另外电子工程，通信，化工，自动化等专业往往也会开凸优化或数值优化（Numerical Optimization）等课程

运筹学分支

线性规划（Linear Programming）-- 最简单和基础的优化问题
非线性规划 (Nonlinear Programming)–目标函数或约束条件为非线性，例如2次函数；
凸优化 (Convex Optimization)–约束条件形成的可行域（feasible region）是凸的；
（混合）整数规划 (Mixed Integer Programming)–自变量有整数变量，NP难问题（指数级算法复杂度）。
半正定规划 (Semi-definite Programming)–每一个自变量x代表一个矩阵；
网络流问题（Network Flow Problems）–一个特殊的混合整数规划问题，满足一个节点流出流量=流入流（或许你听说过最大流最小割定理）；
动态规划(Dynamic Programming)、近似算法(Approximation Algorithms)、启发式算法（Heuristic Algorithms， Meta Heuristics）、遗传算法 (Genetic Algorithms)–用来解例如整数规划等NP难优化问题的算法，后俩个通常只能得到局部最优解，最经典的当属最大流最小割定理衍生出来的一些最大流算法（全局最优）。
鲁棒优化（Robust Optimization）–目标函数或约束条件有扰动（不确定性）的情况下，求解其最坏情况下的最优解；
多目标优化 (Muti-objective Optimization)–优化的目标函数是一个向量，通常通过引入权重权衡个目标函数，转化成单目标优化，或者寻找帕累托最优(Pareto Optimality) ；
双层优化（Bilevel Optimization）–和复合函数的概念类似，比如Max-Min Problem,在一个优化问题外嵌套另一个优化问题，通常用迭代法；
随机优化（Stochastic Programming）–加入了不确定的因素（通常以概率形式表现，目标函数变成求期望最大化）；
最优控制（Optimal Control）：严格说属于控制论的范畴，可以简单地把它理解为，优化问题中的变量由x变为f(x)，并且通常f是时间t的函数（或者状态state的函数），约束条件常有偏微分方程。也就是说，控制论期望通过解一个优化问题，得到一个最优的函数f（t），使得这个函数在全局（空间+时间）上是最优的。而运筹学通过解一个优化问题，得到的是最优解x，使得目标函数在一个确定性（deterministic，通常与t无关，或者可以理解为在t的某一时刻）的环境下是最优的。