1 贝塞尔曲线
贝塞尔曲线(The Bézier Curves)，是一种在计算机图形学中相当重要的参数曲线(三维空间中称为贝塞尔曲面). 贝塞尔曲线由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)于1962年发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计.
接下来将从一次贝塞尔曲线开始(以下简称一次曲线. 类似的，N次贝塞尔曲线称为N次曲线)，研究贝赛尔曲线的解析构造和原理。
1.1 一次贝塞尔曲线
给定两点P0、P1，一次曲线在几何上是一条连接这两点的直线，可以用下面的参数方程表示：
其中，t∈[0,1].
当参数t在定义域内变化时，曲线变化过程如下：
一次贝塞尔曲线函数中，参数t会经过由P0和14P0P1的直线.
1.2 二次贝塞尔曲线
二次曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)确定：
B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2
其中，t∈[0,1].
为了生成二次曲线，可以借助于中间点Q0和Q1：
由P0至P1的连续点Q0，描述一条一次曲线
由P1至P2的连续点Q1，描述一条一次曲线
由Q0至Q1的连续点B(t)，描述一条二次曲线
以t=0.25为例，二次曲线如图：
当参数t在定义域内变化时，其变化过程如图：
1.3 三次贝塞尔曲线
为构造高次曲线，需要借助更多的中间点. 对于三次曲线，可由一次曲线描述的中间点Q0、Q1、Q2，以及由二次曲线描述的点R0、R1来生成.
设P0、P1、P2、P3四个点定义了一条三次方贝塞尔曲线. 曲线从P0开始，至P3结束，其方向从P1到P2. 一般来说，曲线不会经过P1或P2. P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，朝P2方向行走的长度.
曲线的参数形式为：
B(t)=P0(1−t)3+3P1t(1−t)2+3P2t2(1−t)+P3t3
其中，t∈[0,1].
以t=0.25为例，三次曲线如图：
当参数t在定义域内变化时，其变化过程如图：
1.4 高次曲线
如果用BP0P1⋯Pn表示由P0P1⋯Pn决定的贝塞尔曲线，那么高次曲线可以表示为：
2 实现
2.1 计算机绘图
要“画”出贝塞尔曲线，一般使用逐次逼近方式，需要进行较多的计算，然后绘制出来，类似这样：
绘制的代码可以在各类计算机图形学书籍中找到.
2.2 在GDI+中实现
GDI+已经封装好了贝塞尔曲线的绘制代码，如果你想画出贝塞尔曲线，调用Graphics.DrawBezier方法：
public void DrawBezier(Pen pen, Point pt1, Point ctrlPt1, Point pt2, Point ctrlPt2);这是一个三次贝塞尔曲线，其中4个点分别为：起点，起点控制点，终点，终点控制点. 绘制出来的效果如下：
3 与鼠标交互
怎么实现Photoshop里那样可以调整的贝塞尔曲线呢？两种方法：
输入新参数生成曲线
用鼠标交互调整曲线
很显然第二种看起来比较好，那么就来试试看.
例如想要获得是这样的效果：
这是一条三次贝塞尔曲线，图中各点含义为：
几个需要解决的问题：
表示贝塞尔曲线的锚点和控制点
绘制曲线和控制点/控制柄
鼠标交互
接下来分别解决。.
3.1 锚点
对于三次贝塞尔曲线而言，有两个锚点：起始点和结束点. 每个锚点有两个坐标：本身坐标和控制点坐标. 于是，可以用这样的类来描述：
// Anchor
public class AnchorPoint {
public static AnchorPoint Empty { get; }
public Point Point { get; set; }
public Point ControlPoint { get; set; }
}3.2 三次贝塞尔曲线
三次曲线前面已经说过原理了，它的结构应该就是这样的：
public class BezierSegment {
public AnchorPoint Begin;
public AnchorPoint End;
}3.3 一个简单的渲染器
为了简单，就用一个最基本的渲染器来画，代码如下：
public class BezierRenderer {
public void DrawSegment(Graphics g, BezierSegment seg, Color color) {
using (Pen p = new Pen(color)) {
g.DrawBezier(
p,
seg.Begin.Point,
seg.Begin.ControlPoint,
seg.End.Point,
seg.End.ControlPoint);
}
public void DrawHandle(Graphics g, Point pt, bool solid, Color color) {
if (solid)
using (SolidBrush b = new SolidBrush(color))
g.FillRectangle(b, pt.X - 2, pt.Y - 2, 4, 4);
else
using (Pen p = new Pen(color))
g.DrawRectangle(b, pt.X - 2, pt.Y - 2, 4, 4);
}
public void DrawBar(Graphics g, Point pt1, Point pt2, Color color) {
using (Pen p = new Pen(color))
g.DrawLine(p, pt1, pt2);
}
}绘制曲线和控制点及其手柄：
// 画曲线
renderer.DrawSegment(g, seg, Color.DimGray);
// 画锚点
renderer.DrawHandle(g, seg.Begin.Point, false, Color.DimGray);
renderer.DrawHandle(g, seg.End.Point, false, Color.DimGray);
// 画控制柄
renderer.DrawBar(g, seg.Begin.Point, seg.Begin.ControlPoint, Color.Black);
renderer.DrawHandle(g, seg.Begin.ControlPoint, false, Color.Black);
renderer.DrawBar(g, seg.End.Point, seg.End.ControlPoint, Color.Black);
renderer.DrawHandle(g, seg.End.ControlPoint, false, Color.Black);
// 当前控制柄为实心
if (target != null)
renderer.DrawHandle(g, target.ControlPoint, true, Color.Black);画出来的效果如下：
3.4 鼠标交互
和鼠标实际上是这样交互的：
按下鼠标，如果落点在某个控制点上，就表示选中了该点，否则落空
移动鼠标，如果选中了某个控制点，则调整控制点坐标至新坐标，否则忽略
放开鼠标，取消任何选择
看起来只需要处理MouseDown，MouseMove和MouseUp这三个事件就够了.
先弄一个全局标记：
// 热点检测区
Rectangle rectBegin, rectEnd;
// 激活标识
AnchorPoint target = null;然后处理鼠标事件.
3.4.1 MouseDown事件
if (rectBegin.Contains(e.Location))
target = seg.Begin;
else if (rectEnd.Contains(e.Location))
target = seg.End;
refresh();3.4.2 MouseMove事件
if (target == null) return;
if (!this.ClientRectangle.Contains(e.Location)) return;
target.ControlPoint = e.Location;
refresh();3.4.3 MouseUp事件
target =null;
refresh();3.4.4 refresh()方法
简便起见，refresh()方法只作简单的刷新：
Invalidate();更高效的刷新应该只处理脏区.
3.5 效果
最后的效果如图：
修改渲染器，可以得到更多的图像效果：
4 扩展和优化
要实现Photoshop那种曲线效果，需要多个锚点连接起来，用和本文类似的方法来画。上面的方法在效率上也还有可以提高的地方。
(完)
