高斯勒让德求积公式Python 高斯勒让德求积公式表

1. Guass型求积公式

定义1：在区间$[a,b]$内，如果由节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$构造的插值型求积公式
$\int_a^b f(x)dx \cong \sum_{k=0}^nA_k f(x_k)$
具有2n+1次代数精度，则称该求积公式为Guass求积公式，求积节点$x_k(k=0,1,\cdots,n)$为Guass点。

Guass型求积公式是各种数值积分公式中精度较高的一种，它与梯形公式和Simpson公式等一样，也是插值型的。所不同是，它所选择的n+1个节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$并非等距节点，也取消了$x_0$和$x_n$与积分上下限a和b相重合的限制，其代数精度由此可提高到2n+1次。

构造Guass型求积公式，首先要确定出$A_k$和$x_k(k=0,1,\cdots,n)$两类系数，而求系数的关键点和难点在于求Guass点$x_k$，下面以构造区间$[-1,1]$上的两点Guass公式
$\int_{-1}^{1}f(x)dx \cong A_0f(x_0)+A_1f(x_1)$
为例，说明如何确定求积系数和求积节点。根据Guass求积公式
$\begin{cases} A_0+A_1+\cdots+A_n=b-a \\ A_0x_0+A_1x_1+\cdots+A_nx_n=(b^2-a^2)/2 \\ \cdots \\ A_0x_0^{2n+1}+A_1x_1^{2n+1}+\cdots+A_nx_n^{2n+1}=(b^{2n+2}-a^{2n+2})/(2n+2) \end{cases} \tag{1}$
其中$A_i$和$x_i(i=0,1,2,\cdots, n)$均为待定，则上式方程组具有（2n+2）个待定系数。

列出非线性方程组为：
$A_0+A_1=b-a=1-(-1)=2 \\ A_0x_0+A_1x_1= \frac{b^2-a^2}{2}=0 \\ A_0x_0^2 + A_1x_1^2=\frac{b^3-a^3}{3} =\frac{2}{3} \\ A_0x_0^3 + A_1x_1^3=\frac{b^4-a^4}{4}=0$
解之，得：
$A_0=A_1=1; \quad x_0=-\frac{1}{\sqrt{3}} 和 x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$
因此，两点Guass公式为：
$\int_{-1}^1f(x)dx \cong f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + f(\frac{1}{\sqrt{3}})$
若能用某种简便方法先求出求积节点，非线性方程组（1）就变称线性方程组（2），此时求积系数$A_k$就能够比较容易地求得
$\begin{cases} A_0+A_1+\cdots+A_n=b-a \\ A_0x_0+A_1x_1+\cdots+A_nx_n=(b^2-a^2)/2 \\ \cdots \\ A_0x_0^n+A_1x_1^n+\cdots+A_nx_n^n=(b^{n+1}-a^{n+1})/(n+1) \end{cases} \tag{2}$
定理1：求积节点$x_k(k=0,1,2,\cdots,n)$是Guass点的充要条件是，以这些点位零点的多项式
$A(x)=\prod_{k=0}^n(x-x_k)$
与任意次数不超过n的多项式$p(x)$均正交，即：
$\int_a^bp(x)A(x)dx=0$

2. Legendre多项式

Legendre多项式由下列表达式定义：
$\begin{cases} L_0(x)=1 \\ L_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n] \quad (n=1,2,\cdots) \end{cases}$
Legendre多项式的几个重要性质如下：

（1）在区间$[-1,1]$上，n次Legendre多项式$L_n(x)$与任意低于n次的多项式$p(x)$正交，即
$\int_{-1}^1p(x)L_n(x)dx=0$
（2）Legendre多项式所有的根在$[-1,1]$中，并且是不相同的实根。

（3）递推关系为：
$L_n(x)=\frac{2n-1}{n}xL_{n-1}(x)-\frac{n-1}{n}L_{n-2}(x) \quad n\geq 2$

3. Guass-Legendre求积公式

根据Legendre多项式性质（1），可以去Legendre多项式的零点作为求积节点来构造Guass公式。这种求积方法就称为Guass-Legendre求积法。

例如，为了构造3点Guass公式
$\int_{-1}^1 f(x)dx \cong \sum_{k=1}^3A_kf(x_k)$
可取3次Legendre多项式$L_3(x)$的零点
$x_1=-\sqrt{3/5}, \quad x_2=0, \quad x_3=\sqrt{3/5}$
作为求积节点。令求积公式对于$f(x)=1,x,x^2$都准确成立，则有：
$\begin{cases} A_1+A_2+A_3=\int_{-1}^1dx=2 \\ A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3 = \int_{-1}^1 xdx=0 \\ A_1x_1^2+A_2x_2^2+A_3x_3^2 = \int_{-1}^{1}x^2dx=2/3 \end{cases}$
解之，得3个求积加权系数$A_1=5/9,A_2=8/9,A_3=5/9$，最后得到3点Guass求积公式为：
$\int_{-1}^1f(x)dx \cong \frac{5}{9}f(-\sqrt{\frac{3}{5}})+\frac{8}{9}f(0)+\frac{5}{9}f(\sqrt{\frac{3}{5}})$
如果区间$[a,b]$是任意的，则需通过如下变换：
$x=\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2} \quad dx=\frac{b-a}{2}dt$
将在$[a,b]$上的积分化为在区间$[-1,1]$上的积分，即：
$\int_a^bf(x)dx \cong \frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f(\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2})dt=\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 \varphi(t)dt$
于是，在区间$[a,b]$上的两点Guass-Legendre公式为：
$\int_a^b f(x)dx \cong \frac{b-a}{2}[f(-\frac{b-a}{2\sqrt{3}}+\frac{a+b}{2})+f(\frac{b-a}{2\sqrt{3}}+\frac{b+a}{2})]$