pems交通流数据集

引言

最近投了一篇交通流领域的论文被拒了，有个reviewer提出，我的定义不符合Edie’s generalized traffic definitions，因此基础就不正确。为了能解决这个问题，我看了些相关论文，也找到了Edie 1963年发表的论文：Discussionof trafficstream measurements and definitions。

交通流三参数基本定义

在观测点进行计算（Lighthill and Whitham给出的定义）

假设在时刻t，在位置x时，[x,x+dx]路段在一段较长时间T通过了n辆车，于是可以计算出x在时刻[t,t+T]的q,k,u分别如下：

$q=n/T$
$k=\frac{\Sigma dt_i}{T\ dx}$
速度被定义为：
$u=\frac{q}{k}=\frac{n\ dx}{\Sigma \ dt_i}$
这种定义方式得到了space-mean speed。直观来看，q和u是很容易理解的，k的定义相对就不是很直观。

照相法（Wardrop给出的定义）

在一条路段X隔一个较短的时间间隔dt进行两次照相，时刻t时路段X上共有n辆车，$dx_i$为车辆_i_在dt时间间隔内走过的距离，可以计算出q,k,u如下：
$u=\frac{\Sigma \ dx_i}{n \ dt}$
$k=\frac{n}{X}$
$q=u.k=\frac{\Sigma \ dx_i}{X\ dt}$

上述两种定义的统一

通过一定的修改，可以帮助使得上述两种定义在概念上统一，其中的变量和上述使用的都是一致的，此外，新引入车头时距hi和车头间距si。
short roadway-long time
$q=\frac{n}{T}=\frac{n}{\Sigma \ h_i}$
$k=\frac{\Sigma \ dt_i}{T\ dx}=\frac{\Sigma \ \frac{1}{u_i}}{T}=\frac{\Sigma \frac{1}{u_i}}{\Sigma \ h_i}$
$u=\frac{n \ dx}{\Sigma \ dt_i}=\frac{n}{\Sigma \frac{1}{u_i}}$
short time-long roadway
$q=\frac{\Sigma \ dx_i}{X \ dt}=\frac{\Sigma \ u_i}{X}=\frac{\Sigma \ u_i}{\Sigma \ s_i}$
$k=\frac{n}{X}=\frac{n}{\Sigma s_i}$
$u=\frac{\Sigma \ dx_i}{n \ dt}=\frac{\Sigma \ u_i}{n}$
可以看到这种统一写法也就是交通工程学中介绍的两种速度的基本定义，space-mean speed和time-mean speed.

两种定义的扩展

如果已经计算出了一个点位的平均q,k,u，现在想要计算两个或更多点位的平均q,k,u，该如何做。$t_i=n_i/q_i$是_i-th流量维持时间。_
short roadway obsearvations combined for different times
$q=\frac{n}{T}=\frac{n_1+n_2}{t_1+t_2}=\frac{t_1q_1+t_2q_2}{t_1+t_2}=\frac{\Sigma \ t_iq_i}{\Sigma \ t_i}$
$k=\frac{\Sigma \ \frac{1}{u_i}}{T}=\frac{\frac{n_1}{u_1}+\frac{n_2}{u_2}}{t_1+t_2}=\frac{t_1k_1+t_2k_2}{t_1+t_2}=\frac{\Sigma \ t_ik_i}{\Sigma \ t_i}$
$u=\frac{n}{\Sigma \ \frac{1}{u_i}}=\frac{n_1+n_2}{\frac{n_1}{u_1}+\frac{n_2}{u_2}}=\frac{t_1q_1+t_2q_2}{t_1k_1+t_2k_2}=\frac{\Sigma \ t_iq_i}{\Sigma \ t_ik_i}$
Short time observations combined for different road sections
如果$x_i=n_i/k_i$是密度$k_i$被测量时的路段的距离，然后根据上面提到的定义可以得到下列公式:
$q=\frac{\Sigma u_i}{\Sigma s_i}=\frac{n_1u_1+n_2u_2}{x_1+x_2}=\frac{x_1q_1+x_2q_2}{x_1+x_2}=\frac{\Sigma \ x_iq_i}{\Sigma \ x_i}$(解释下这个公式，根据前面short time-long roadway的q的推导，流量是每辆车速度和除以每辆车的车头间距和，然后每辆车速度和就是第一个road的平均速度u1乘上车辆数n1加第二个road的平均速度u2乘车辆数n2，车头间距和就是x1+x2了，也就是两条道路的长度和)
$k=\frac{n}{X}=\frac{n_1+n_2}{x_1+x_2}=\frac{x_1k_1+x_2k_2}{x_1+x_2}=\frac{\Sigma \ x_ik_i}{\Sigma \ x_i}$
$u=\frac{\Sigma \ u_i}{n}=\frac{n_1u_1+n_2u_2}{n_1+n_2}=\frac{x_1q_1+x_2q_2}{x_1k_1+x_2k_2}=\frac{\Sigma \ x_iq_i}{\Sigma \ x_ik_i}$
根据上述两个定义的拓展推导，同一个路段在相邻时间段的值可以用时间作为权重来进行融合。对于不同路段在同一个时间段的平均值可以用空间作为权重来融合。
以上4种q,k,u的定义及相关拓展都是合理且在交通领域得到公认的。

q,k,u定义总结

各个变量的含义和前文所述是一致的。对于measurements at a point而言，general是通式，无论是一个时间段还是多个时间段求取均值，general都是适用的。n equal slices指n个ti都是相同的，于是general可以简化为n equal slices的公式。n single vehicles指n个连续的ti中共经过n辆车时，general可以简化为n single vehicles的形式。n equal groups指n个ti的通过的车辆数都相等，于是general可以简化为n equal groups的形式。类似的，对于measurements at an instant而言，general可以在各个特殊情况下简化为后面几种特殊形式，只不过，measurements at an instant是在同一个时刻[t,t+dt]在n个位置进行值的测量获取。

measurements at a point	General	n equal slices	n equal groups	n single vehicles
q	$u=\frac{\Sigma \ u_i}{n}=\frac{n_1u_1+n_2u_2}{n_1+n_2}=\frac{x_1q_1+x_2q_2}{x_1k_1+x_2k_2}=\frac{\Sigma \ x_iq_i}{\Sigma \ x_ik_i}$	$u=\frac{\Sigma \ u_i}{n}=\frac{n_1u_1+n_2u_2}{n_1+n_2}=\frac{x_1q_1+x_2q_2}{x_1k_1+x_2k_2}=\frac{\Sigma \ x_iq_i}{\Sigma \ x_ik_i}$
k
u
measurements at an instant
q
k
u

图片直接借用Edie论文中的原图进行说明，这张图就是在某点位（dx）或者某个时刻（dt）进行平均指标计算的示意图，dx就是横着的矩形区域，dt就是竖着的矩形区域。

问题

但是上述的这种定义也是存在一定的问题的，当dx或者dt较大时，可以想到进入和出去的车的数量不一致，而且时刻t或点位x的位置有一个小的偏移可能就会导致三参数值有一个较大的偏差。

时空轨迹下的参数定义

时空轨迹可以想到既不是dt也不是dx，而是一个时空区域，文章中称作是space-time domain，在这种情况下，也就是说我们知道一个区域所有车辆的的完整时空轨迹，则三参数的定义如下：
$q=\frac{\Sigma \ x_i}{A}$
$k=\frac{\Sigma \ t_i}{A}$
$u=\frac{\Sigma \ x_i}{\Sigma \ t_i}$
其中，A是space-time domain区域的面积，xi是vehicle i旅行的距离，ti是vehicle i旅行的时间。
这个新的定义和之前提到的两种定义及拓展定义都是相一致的。
更一般的可以将q,k,u的计算写为下面的通式：
$q=\frac{\Sigma \ a_iq_i}{\Sigma \ a_i}$
$k=\frac{\Sigma \ a_ik_i}{\Sigma \ a_i}$
$u=\frac{\Sigma \ a_iq_i}{\Sigma \ a_ik_i}$
edie在论文中给了两个例子，推导了一下space-time domain如何退化为dx和dt的情况，此时公式也将退化为前面的两种定义。