回归问题提出
首先需要明确回归问题的根本目的在于预测。对于某个问题，一般我们不可能测量出每一种情况（工作量太大），故多是测量一组数据，基于此数据去预测其他未测量数据。
比如课程给出的房屋面积、房间数与价格的对应关系，如下表：
若要测量出所有情况，不知得测到猴年马月了。有了上面这一组测量数据，我们要估计出一套房子（如2800平方英尺5个房间）的价格，此时回归算法就可以荣耀登场了。
回归算法推导
有了上面这个问题，如何来估计房子的价格呢？首先需要建立模型，一种最简单的模型就是线性模型了，写成函数就是：
\( h_\theta(x_1,x_2)={\theta_0}+{\theta_1}{x_1}+{\theta_2}{x_2} \)
其中\(x_1\)是房子面积，\(x_2\)是房间数，\(h\)是对应的房子面积，\(\theta_j\)就是我们需要求的系数。
对于每个具体问题，需要根据测量数据的情况来确定是否为线性。这里假设为线性模型会限制适用范围，如果房屋面积与价格不是线性关系，则此模型估计的房子价格可能会偏差很大。因此实际上这里也可以假设为其他关系（如指数、对数等），那么估计结果可能就极度不准确了，当然那也就不是线性回归，这里就不必讨论。具体为什么选择线性模型，将在后面广义回归模型中来解答。
上面公式写成向量形式，则为
\( h_\theta(x)=\sum_{i=0}^n{\theta_i{x_i}}=\theta^T{x} \)
其中
\(\theta=(\theta_0, \theta_1,..., \theta_n)^T\)
\( x=(1,x_1, ... ,x_n)^T \)
那么上面的测量数据可以表示为\( (x^{(1)},y^{(1)}), (x^{(2)},y^{(2)}),..., (x^{(m)},y^{(m)}) \)，其中的y为测量的房屋面积。这样如何根据这m个测量数据来求解参数\(\theta \)就是我们需要解决的问题了。
我们可以通过保证此组测量的预测误差最小来约束求解。代价函数为
\(J(\theta)={\frac{1}{2}}\sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2}\)
该代价函数表达的是测量数据的均方误差和。通过最小化该代价函数，即可估计出参数\( \theta \)。前面那个1/2并没有实质意义，主要为了后面求导方便加的；实际上为1/m更具有绝对意义。
回归算法求解
如何求解上述问题？主要有梯度下降法，牛顿迭代法，最小二乘法。这里主要讲梯度下降法，因为该方法在后面使用较多，如神经网络、增强学习等求解都是使用梯度下降。
函数在沿着其梯度方向增加最快的，那么要找到该函数的最小值，可以沿着梯度的反方向来迭代寻找。也就是说，给定一个初始位置后，寻找当前位置函数减小最快的方向，加上一定步长即可到达下一位置，然后再寻找下一位置最快的方向来到达再下一个位置……，直至其收敛。上述过程用公式表达出来即如下所示：
\( \theta_j = \theta_j - \alpha{\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}}{J(\theta)}\)
根据上述表达式，可以求得代价函数的偏导数为：
\( {\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}}{J(\theta)} = \sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}) {\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}}{h_\theta(x^{(i)})}} = \sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}} \)
这样，迭代规则为
\( \theta_j = \theta_j - \alpha\sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}}\quad (j=1,2,...,n)\)
这个公式即是所谓的批量梯度下降。仔细观察该公式，每次迭代都需要把m个样本全部计算一遍，如果m很大时，其迭代将非常慢，因此一种每次迭代只计算1个样本的随机梯度下降（或增量梯度下降）可以极大减少运算量，其迭代如下：
\( \theta_j = \theta_j - \alpha {(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}}\quad (i=1,2,...,n \quad j=1,2,...,n)\)
若所有样本迭代完成后还未收敛，则继续从第1个样本开始迭代。
算法实现与结果
首先使用下面代码生成一组数据，为了后续显示方便，数据为一条直线上叠加一定噪声：
1 N = 100;
2 x = rand(N, 1) * 10;
3 y = 5 * x + 10 + 5 * randn(N, 1);
4 Sample = [x y];
5 save('data.mat', 'Sample')
6 figure,plot(x, y, 'o');View Code 数据显示出来如下图：
线性回归函数使用梯度下降求解：
1 %返回值Theta为回归结果
2 %IterInfo为迭代的中间过程信息，用于调试，查看
3 %Sample为训练样本，每一行为一个样本，每个样本最后一个为Label值
4 %BatchSize为每次批量迭代的样本数
5 function [Theta, IterInfo]=LinearRegression(Sample, BatchSize)
6 [m, n] = size(Sample); %m个样本，每个n维
7 Y = Sample(:, end); %label
8 X = [Sample(:,1:end-1), ones(m,1)]';%x加入常数项1，并转换为每列表示1个样本
9
10 BatchSize = min(m, BatchSize);
11 Theta = zeros(n, 1);
12 Theta0= Theta;
13 Alpha = 1e-2 * ones(n, 1);
14 StartID = 1;
15
16 IterInfo.Grad = [];
17 IterInfo.Theta = [Theta];
18
19 %梯度下降，迭代求解
20 MaxIterTime = 5000;
21 for i = 1:MaxIterTime
22 EndID = StartID + BatchSize;
23 if(EndID > m)
24 TX = [X(:, StartID:m) X(:, 1:EndID-m)];
25 TY = [Y(StartID:m); Y(1:EndID-m)];
26 else
27 TX = X(:, StartID:EndID);
28 TY = Y(StartID:EndID);
29 end
30
31 Grad = CalcGrad(TX, TY, Theta);
32 Theta = Theta + Alpha .* Grad;
33
34 %记录中间结果
35 IterInfo.Grad = [IterInfo.Grad Grad];
36 IterInfo.Theta = [IterInfo.Theta Theta];
37
38 %迭代收敛检验
39 Delta = Theta - Theta0;
40 if(Delta' * Delta < 1e-10)
41 break;
42 end
43
44 Theta0 = Theta;
45 StartID = EndID + 1;
46 StartID = mod(StartID, m) + 1;
47 end
48
49 IterInfo.Time = i;
50 end
51
52 %梯度计算
53 function Grad = CalcGrad(X, Y, Theta)
54 D = 0;
55 for i = 1:size(X,2)
56 G = (Y(i) - Theta' * X(:,i)) * X(:,i);
57 D = D + G;
58 end
59 Grad = D / size(X,2);
60 endView Code
测试函数：
1 %回归
2 load('data.mat');
3
4 BatchSize = 100;
5 [Theta, IterInfo] = LinearRegression(Sample, BatchSize)
6
7 %显示结果，以下代码不通用，样本维数增加时显示不可用
8 figure,plot(Sample(:,1), Sample(:,2), 'o');
9 t = 0:0.1:10;
10 z = Theta(1) * t + Theta(2);
11 hold on, plot(t, z, 'r')
12
13 for i = 1:size(IterInfo.Theta,2)
14 err(i) = Error(Sample, IterInfo.Theta(:,i));
15 end
16 figure,plot(log(err),'b');pause(.1)
17
18 [t1,t2]=meshgrid(0:0.1:20);
19 for i = 1:size(t1,1)
20 for j = 1:size(t1,2)
21 E(i,j) = Error(Sample, [t1(i,j); t2(i,j)]);
22 end
23 end
24 figure,mesh(t1, t2, E);hold on
25 [R,C]=find(E==min(min(E)));
26 plot3(t1(R,C), t2(R,C), min(min(E)), 'rs','MarkerEdgeColor','b',...
27 'MarkerFaceColor','r',...
28 'MarkerSize',15);hold on
29
30 t1 = IterInfo.Theta(1,:);
31 t2 = IterInfo.Theta(2,:);
32 for i = 1:size(IterInfo.Theta,2)
33 ItErr(i)=Error(Sample, IterInfo.Theta(:,i));
34 end
35 plot3(t1,t2,ItErr,'--rs','LineWidth',1,...
36 'MarkerEdgeColor','k',...
37 'MarkerFaceColor','g',...
38 'MarkerSize',10);hold onView Code
实际上上述代码中真正涉及算法求解的不多，其他都是保存中间结果和绘图等用于调试分析的。回归结果如图，蓝色点为上面保存的数据，红色直线是回归拟合的直线：
其中每次迭代后，代价函数J的变化则如下图（考虑其范围过大，绘制的是其对数图）：
可以看出，当迭代超过1000次时，代价函数已经基本不变了。梯度下降迭代过程如下左图，xy坐标分别为\(\theta_0和\theta_1\)，z轴为对应\(\theta\)的代价函数值，图中心的红色小块是真实的最优值，绿色方块是每次迭代的位置，可以看到迭代过程是不断靠近最优解。由于图中绿色方块重叠过多导致绘图出来中间部分显示为黑色了，右图为局部放大的结果。
算法分析
1. 梯度下降法中，BatchSize为一次迭代使用的样本数量，当其为m时，即为批量梯度下降，为1时即是随机梯度下降。实验效果显示，BatchSize越大，迭代越耗时，但其收敛越稳定；反之，则迭代越快，而易产生振荡现象；具体可修改测试代码中的BatchSize来看实验结果。
2. 关于步长的选择。在梯度下降法中，步长的影响是非常大的，步长过小会导致收敛非常慢，过大则容易导致不收敛。上述程序中的步长是经过若干次运行修改的，换一组其他数据可能不收敛，这是该程序存在的问题，待回归算法完结后将专门来一篇分析该问题，并给出解决方法。
