本期我们继续进行运筹学之图与网络分析算法的讲解，我们将对图与网络分析的基础知识进行一个简单的回顾，并介绍求解最大流问题和最小费用最大流的MATLAB和Python相关代码，以帮助大家利用工具快速求解最大流问题和最小费用最大流问题，做到事半功倍。由于篇幅有限，小编接下来只展示部分代码，小伙伴们可以关注“运筹说”公众号→后台回复“算法介绍之图与网络分析（二）”获取完整代码。话不多说，我们一起来看看吧！
一、基础知识
1、最大流问题
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(1) 可行流：对任一G中的边(vi, vj)有流量fij，称集合f={fij}为网络G上的一个流。且称满足容量限制条件和平衡条件的流f为可行流。
①容量限制条件：对G中每条边(vi, vj)，有0≤fij≤cij；
②平衡条件：对中间点vi有∑j fij =∑k fki，即物资的输入量与输出量相等。
(2)总流量：对收、发点vt，vs，有∑i fsi =∑j fjt=W，W为网络流的总流量。
(3)可增广链：容量网络G，若μ为网络中从vs，vt的一条链，给μ定向为从vs到vt，μ上的边凡与μ同向称为前向边，凡与μ反向称为后向边，其集合分别用μ+和μ-表示，f是一个可行流，如果满足
则称μ为从vs到vt的(关于f的)可增广链。
(4) 可增广链的意义:沿着这条链从发点到收点输送的流，还有潜力可挖。
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(1) 割集：容量网络G=(V，E，C)，vs，vt为发、收点，若有边集E’为E的子集，将G分为两个子图G1，G2，其顶点集合分别记S，S’，S∪S’=V，S∩S’=∅，vs，vt分属S，S’，满足：①G(V，E- E’)不连通；②E’’为E’的真子集，而G(V，E- E’’)仍连通，则称E为G的割集，记E’=(S，S’)。
(2) 割集容量：割集(S，S’)中所有始点在S，终点在S’的边的容量之和，称为(S，S’)的割集容量,记为C(S，S’)。容量网络G的割集有多个，其中割集容量最小者称为网络G的最小割集容量（简称最小割）。
(3) 最大流-最小割定理：任一个网络G中，从vs到vt的最大流的流量等于分离vs、vt的最小割的容量。
(4) 最小割的意义：网络从发点到收点的各通路中，由容量决定其通过能力，最小割则是这些路中的咽喉部分，其容量最小，它决定了整个网络的最大通过能力。要提高整个网络的运输能力，必须首先改造这个咽喉部分的通过能力。
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求网络中一个可行流，使其流量达到最大，这种流称为最大流，这个问题称为（网络）最大流问题。
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2、最小费用流问题
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(1) 链的费用：已知网络G=(V,E,C,d),f是G上的一个可行流，μ为从vs到vt的(关于f的)可增广链，则链μ的费用为
若μ*是从vs到vt所有可增广链中费用最小的链，则称μ*为最小费用可增广链。
(2) 长度网络：对网络G=(V,E,C,d)，有可行流f，保持原网络各点，每条边用两条方向相反的有向边代替，各边的权lij按如下规则：
①当边(vi, vj)∈E，令
这里＋∞的意义是：这条边已饱和，不能再增大流量，否则要花费很高的代价，实际无法实现，因此权为＋∞的边可从网络中去掉。
②当边(vj, vi)为原来G中边(vi, vj)的反向边，令
这里＋∞的意义是此边流量已减少到0，不能再减少，权为＋∞的边也可以去掉。
这样得到的网络L(f)称为长度网络（将费用看成长度）。
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已知容量网络G=(V,E,C),每条边(vi, vj)除了已给出容量cij外，还给出了单位流量的费用dij(≥0)，记G=(V,E,C,d)。求G的一个可行流f={fij},使得流量W( f )=v,且总费用最小。
特别地，当要求f为最大流时，此问题即为最小费用最大流问题。
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3、算法对比
二、算法实现
1、最大流问题
（1）例题介绍
给定指定的一个有向图，v0为起点，v5为起点，每条边有指定的容量，求满足条件的从v0到v5的最大流。
（2）平台实现
我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解最大流问题的相关代码。
①MATLAB
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代码运行及最终结果展示如下，求得v0到v5的最大流为23，其中v0流向v1的流量为11，v0流向v2的流量为12，v2流向到v1的流量为1，v1流向到v3的流量为12，v2流向到v4的流量为11，v4流向v3的流量为7，v3流向v5的流量为19，v4流向v5的流量为4。
②Python
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代码运行及最终结果展示如下，求得v0到v5的最大流为23，其中v0流向v1的流量为11，v0流向v2的流量为12，v2流向到v1的流量为1，v1流向到v3的流量为12，v2流向到v4的流量为11，v4流向v3的流量为7，v3流向v5的流量为19，v4流向v5的流量为4。
（3）图形结果展示
v0到v5的最大流为23，每条边的流向及流量如图所示。
2、最小费用流问题
（1）例题介绍
在如图所示的运输网络上，求流量v为10的最小费用流，边上括号内为(cij, dij)。
（2）平台实现
我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解最小费用流问题的相关代码。
①MATLAB
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代码运行及最终结果展示如下，本例中MATLAB代码以1代表起点vs，以5代表终点vt，求得流v为10的最小费用流为48，其中vs到v1的流量为4，vs到v2的流量为8，v2到v1的流量为5，v2到v3的流量为3，v1到v3的流量为0，v3到vt的流量为3，v1到vt的流量为7。
②Python
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代码运行及最终结果展示如下，本例中Python代码以0代表起点vs，以4代表终点vt，求得流量v为10的最小费用流为48，其中vs到v1的流量为4，vs到v2的流量为8，v2到v1的流量为5，v2到v3的流量为3，v1到v3的流量为0，v3到vt的流量为3，v1到vt的流量为7。
（3）图形结果展示
流量为10时vs到vt的最小费用流为48，每条边的流向及流量如图所示。
三、参考资料
【最大流问题Python实现】
【最小费用流问题Python实现】
https://zhuanlan.zhihu.com/p/103521228
作者 | 尹萌娟 王连聚
责编 | 刘文志
审核 | 徐小峰
