非线性回归 拟合度 非线性回归模型公式

一、线性回归

回归问题：目标值——连续型的数据

线性回归应用场景：房价预测、销售额度预测、金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子

定义与公式：

线性回归（Linear regression）是利用回归方程（函数）对一个或多个自变量（特征值）和因变量（目标值）之间关系进行建模的一种分析方式。

特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，多于一个自变量情况叫多元回归

通用公式h(w)=w1*x1+w2*x2+w3*x3+…+b=wT x+b

广义线性模型——非线性关系

线性关系一定是线性模型，线性模型不一定是线性关系

二、线性回归的损失和优化原理

损失函数（目标函数）：

定义:

                           

Y_i为第i个训练样本的真实值

H(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数

又称最小二乘法

优化损失：

1. 正规方程：

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果

缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

1. 梯度下降：

 

理解：a为学习率，需要手动指定（超参数），a旁边的整体表示方向沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新w值使用：面对训练数据规模十分庞大的任务，能够找到较好的结果

线性回归API：

Sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)

1. 通过正规方程优化
2. Fit_intercept:是否计算偏置
3. LinearRegression.coef_:回归系数
4. LinearRegression.intercept_:偏置

Sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss=”squared_loss”,fit_intercept=True,learning_rate=’invscaling’,eta0=0.01)

1. SGDRegressor类实现了随机梯度下降算法学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型
2. Loss:损失类型    
3.     loss=”squared_loss”:普通最小二乘法
4. Fit_intercept:是否计算偏置
5. Learning_rate:string,optional

学习率填充
                ‘constant’:eta=eta0
                ‘optimal’:eta=1.0/(alpha*(t+0))[default]
                ‘invscaling’:eta=eta0/pow(t,power_t)    power_t=0.25:存在父类当中

                ‘对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’,并使用eta0来指定学习率’

1. SGDRegressor.coef_:回归系数
2. SGDRegressor.intercept_:偏置

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error

def linerar1():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """
    #1）获取数据
    boston=load_boston()
    #2）划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22)

    #3）标准化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)

    #4）预估器
    estimator=LinearRegression()
    estimator.fit(x_train,y_train)
    #5）得出模型
    print("正规方程权重系数为：\n",estimator.coef_)
    print("正规方程偏置为：\n",estimator.intercept_)
    #6）模型评估
    y_predict=estimator.predict(x_test)
    print("预测房价：\n",y_predict)
    error=mean_squared_error(y_test,y_predict)
    print("正规方程——均方误差为：\n",error)
    return None


def linerar2():
    """
    梯度下降的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """
    # 1）获取数据
    boston = load_boston()
    # 2）划分数据集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22)

    # 3）标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.transform(x_test)

    # 4）预估器
    estimator = SGDRegressor()
    estimator.fit(x_train, y_train)
    # 5）得出模型
    print("梯度下降权重系数为：\n", estimator.coef_)
    print("梯度下降偏置为：\n", estimator.intercept_)
    # 6）模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print("预测房价：\n", y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print("梯度下降——均方误差为：\n", error)
    return None

 

回归性能评估

均方误差（Mean Squared Error（MSE））评价机制：

注意：y^i为预测值，y 为真实值

API：sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true,y_pred)

1. 均方差误差回归损失
2. Y_true：真实值
3. Y_pred:预测值
4. Return:浮点数结果

总结对比：

梯度下降	正规方程
需要选择学习率	不需要
需要迭代求解	一次运算得出
特征数量较大可以使用	需要计算方程，时间复杂度高

扩展——关于梯度下降优化方法GD、SGD、SAG

1. GD:梯度下降（Gradient Descent），原始的梯度下降法需要计算所有样本的值才能够得出梯度，计算量大，
2. SGD:随机梯度下降（Stochasticgradient descent）是一个优化方法，它在一次迭代是只考虑一个训练样本

SGD的优点是：高效、容易实现

SGD的缺点是：SGD需要许多超参数：比如正则项参数、迭代数

              SGD对于特征标准化是敏感的

1. SAG随机平均梯度法（Stochasitc Average Gradient），由于收敛的速度太慢，有人提出SAG等基于梯度下降的算法

Scikit-learn:岭回归、逻辑回归

三、欠拟合和过拟合

在训练集上表现的好，测试集不好

定义：

过拟合：一个假设在训练集上能够获得比其他假设更好的拟合，但是在测试集上却不能很好的拟合数据，此时认为这个假设出现了过拟合的现象。（模型复杂）

欠拟合：一个假设在训练数据上不能获得更好的拟合，并且在测试集上也不能很好的拟合数据，此时认为这个假设出现了欠拟合的现象。（模型过于简单）

原因及解决办法：

欠拟合原因以及解决办法：

原因：学习到数据的特征过少

解决办法：增加数据的特征训练

过拟合原因以及解决办法：

原因：原始特征过多，存在一些嘈杂特征，模型过于复杂是因为模型尝试去兼顾各个测试数据点

解决办法：正则化

L1正则化：

作用：可以使得其中一些w的值直接为0，删除这个特征的影响

LASSO回归

    损失函数+（惩罚系数）惩罚项

L2正则化：

作用：可以使其中一些W的值都很小，都接近于0，削弱某个特征的影响

优点：越小的参数说明模型越简单，越简单的模型越不容易产生过拟合现象

Ridge回归——岭回归

加入L2正则化后的损失函数：

                                               

注：m为样本，n为特征数。损失函数+（惩罚系数）惩罚项

四、线性线性回归的改进岭回归：

岭回归：其实就是一种线性回归，只不过在算法建立回归方程时候，加上正则化的限制，从而达到解决过拟合的效果

API：sklearn.linear_model.Ridge(alpha=1.0,fit_intercept=True,solver=”auto”,normalize=False)

具有L2正则化的线性回归

Alpha：正则化力度，也叫 ， 取值0~1,1~10

Solver:会根据数据自动选择优化方法，sag：如果数据集、特征集都比较大，选择该随机梯度下降优化数据

Normalize=False:可以在fit之前调用preprocessing.StandardScaler标准化数据

Ridge.coef_:回归权重

Ridge.intercept_:回归偏置

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor,Ridge
from sklearn.metrics import mean_squared_error


def linerar3():
    """
    岭回归对波士顿房价进行预测
    :return:
    """
    # 1）获取数据
    boston = load_boston()
    # 2）划分数据集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22)

    # 3）标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.transform(x_test)

    # 4）预估器
    estimator = Ridge()
    estimator.fit(x_train, y_train)
    # 5）得出模型
    print("岭回归权重系数为：\n", estimator.coef_)
    print("岭回归偏置为：\n", estimator.intercept_)
    # 6）模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print("预测房价：\n", y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print("岭回归——均方误差为：\n", error)
    return None

正则化力度越大，权重系数越小

正则化力度越小，权重系数越大