java 矩阵 计算 公式 矩阵java代码

前面两篇文章提到(推荐系统之隐含语义模型LFM(1) 推荐系统之隐含语义模型LFM(2)负样本采集 )，我们可以获取用户-物品(User-Item)偏好度矩阵，而根据计算用户u对物品i偏好度的公式：

可知，我们还缺一个关键的K——隐因子。只有知道了K，我们才能将User-Item这个u*i的矩阵分解成Q(u,K)、P(i,K)两个矩阵。

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先从矩阵分解说起，常用的奇异值分解(SVD)。矩阵R分解为：

K一般远远小于u、i的数量。

所以，如果我们预测第i个用户对第j个物品的偏好度，计算

即可。

但是SVD也有其局限性：

1. SVD要求被分解的矩阵是稠密的。但从实际生活角度看，无论是购物、听音乐、看电影等，User-Item都是稀疏的。以我个人为例，2019年国内上映的电影共89部，而我也只看了16部，还不到五分之一。如果再扩大到全球历年上映的影片，我个人对这些影片偏好度的矩阵就极其稀疏了。另外，如果将这个稀疏的矩阵通过SVD分解降维，就要进行数据填充，使得这个矩阵的空间需求过大，算法复杂度大增。并且简单粗暴地填充数据也会导致数据失真。
2. SVD时间复杂度较高，m*n的矩阵，时间复杂度大概就是n的3次方，在用户数、物品数极大的情况下进行分解，代价太大。

所以这才有了下面要说的优化变种算法Funk-SVD。后面还出现了Basic-SVD、SVD++等，都是基于此算法的。

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Funk-SVD算法的基本思路就是，将稀疏的User-Item矩阵R，分解成用户-隐因子矩阵Q，物品-隐因子矩阵P，则有：

那么用户u对物品i的偏好度的预测值：

拿用户u对物品i的真实偏好度与预测值相比较，差值越小，则说明预测越准。这里使用和方差SSE作为评测指标，则有：

SSE计算的是真实值与预测值误差的平方和，越趋近于0，说明预测的越准，拟合度越高。

为了防止过拟合，加入L2的正则化项，可得：

其中u、i都是训练集中用户对物品有偏好的数据。

• r(u,i)是用户u对物品i的真实偏好度。
• λ是正则化系数
• e(u,i)是真实值与预测值的误差。

通过随机梯度下降法不断地去学习，使学习出来的Q、P计算得到的预测矩阵逼近真实矩阵R。

首先要求Q(u,k)和P(i,k)的偏导数：

根据随机梯度下降法的要求，我们要按负梯度方向前进，递推公式如下：

• α是学习速率。
• λ是正则化参数。

Java代码如下：

import java.io.BufferedReader;import java.io.FileInputStream;import java.io.IOException;import java.io.InputStreamReader;import java.util.Collections;import java.util.Comparator;import java.util.List;import java.util.Map;import java.util.Map.Entry;import com.google.common.collect.Lists;import com.google.common.collect.Maps;public class LFM {    private double α = 0.02;// 梯度下降学习速率，步长    private static final int F = 100;// 隐因子数    private static final double λ = 0.01;// 正则化参数，防止过拟合    private static final int iterations = 100;// 迭代求解次数    private Map userF = Maps.newHashMap();// 用户-隐因子矩阵    private Map itemF = Maps.newHashMap();// 物品-隐因子矩阵    public static void main(String[] args) {        long start = System.currentTimeMillis();        LFM lfm = new LFM();        Map> userItemRealData = lfm.buildInitData();        lfm.initUserItemFactorMatrix(userItemRealData);        lfm.train(userItemRealData);        lfm.getRecommondItemByUserId(1, 10, userItemRealData);        // lfm.getRecommondItemByUserId(2, 10, userItemRealData);        // lfm.getRecommondItemByUserId(3, 10, userItemRealData);        long end = System.currentTimeMillis();        System.out.println("耗时" + (end - start) / 1000 + "秒");    }    /**     * 构建初始数据
     * 实际开发中，应该读取日志，格式类似：userId,itemId,评分
     * 本例采用随机数     *      * @return     */    public Map> buildInitData() {        Map> userItemRealData = Maps.newHashMap();        System.out.println("读取数据......");        String dataPath = "数据文件/ratings.csv";        BufferedReader br = null;        try {            br = new BufferedReader(new InputStreamReader(new FileInputStream(dataPath), "utf-8"));            String line = null;            Map itemRating = null;            while ((line = br.readLine()) != null) {                String[] dataRating = line.split(",");                Integer userID = Integer.valueOf(dataRating[0].trim());                Integer itemID = Integer.valueOf(dataRating[1].trim());                double rating = Double.parseDouble(dataRating[2]);                if (userItemRealData.containsKey(userID)) {                    itemRating = userItemRealData.get(userID);                    itemRating.put(itemID, rating);                } else {                    itemRating = Maps.newHashMap();                    itemRating.put(itemID, rating);                    userItemRealData.put(userID, itemRating);                }            }            br.close();        } catch (IOException e) {            e.printStackTrace();            System.exit(1);        }        return userItemRealData;    }    /**     * 初始化用户-隐因子、物品-隐因子矩阵
     * 使用随机数进行填充，随机数应与1/sqrt(隐因子数量)成正比     *      * @param userItemRealData     */    public void initUserItemFactorMatrix(Map> userItemRealData) {        for (Entry> userEntry : userItemRealData.entrySet()) {            // 随机填充用户-隐因子矩阵            int userId = userEntry.getKey();            Double[] randomUserValue = new Double[LFM.F];            for (int j = 0; j < LFM.F; j++) {                randomUserValue[j] = Math.random() / Math.sqrt(LFM.F);            }            this.getUserF().put(userId, randomUserValue);            // 随机填充物品-隐因子矩阵            Map itemMap = userItemRealData.get(userId);            for (Entry entry : itemMap.entrySet()) {                int itemId = entry.getKey();                if (this.getItemF().containsKey(itemId)) {                    continue;// 物品-隐因子矩阵已存在，不再做处理                }                Double[] randomItemValue = new Double[LFM.F];                for (int j = 0; j < LFM.F; j++) {                    randomItemValue[j] = Math.random() / Math.sqrt(LFM.F);                }                this.getItemF().put(itemId, randomItemValue);            }        }    }    /**     * 训练     * @param userItemRealData     */    public void train(Map> userItemRealData) {        for (int step = 0; step < LFM.iterations; step++) {            System.out.println("第" + (step + 1) + "次迭代");            for (Entry> userEntry : userItemRealData.entrySet()) {                int userId = userEntry.getKey();                Map itemMap = userItemRealData.get(userId);                for (Entry entry : itemMap.entrySet()) {                    int itemId = entry.getKey();// 物品ID                    double realRating = entry.getValue();// 真实偏好度                    double predictRating = this.predict(userId, itemId);// 预测偏好度                    double error = realRating - predictRating;// 偏好度误差                    Double[] userVal = this.getUserF().get(userId);                    Double[] itemVal = this.getItemF().get(itemId);                    for (int j = 0; j < LFM.F; j++) {                        double uv = userVal[j];                        double iv = itemVal[j];                        uv += this.α * (error * iv - LFM.λ * uv);                        iv += this.α * (error * uv - LFM.λ * iv);                        userVal[j] = uv;                        itemVal[j] = iv;                    }                }            }            this.α *= 0.9;// 按照随机梯度下降算法的要求，学习速率每步都要进行衰减，目的是使算法尽快收敛        }    }    /**     * 获取用户对物品的预测评分     *      * @param userId     * @param itemId     * @return     */    public double predict(Integer userId, Integer itemId) {        double predictRating = 0.0;// 预测评分        Double[] userValue = this.getUserF().get(userId);        Double[] itemValue = this.getItemF().get(itemId);        for (int i = 0; i < LFM.F; i++) {            predictRating += userValue[i] * itemValue[i];        }        return predictRating;    }    /**     * 获取用户TopN推荐     * @param userId     * @param count     * @param userItemRealData     * @return     */    public List> getRecommondItemByUserId(int userId, int count,            Map> userItemRealData) {        Map result = Maps.newHashMap();        Map realItemVal = userItemRealData.get(userId);        Map predictItemVal = this.getItemF();        // double lowestVal = Double.NEGATIVE_INFINITY;// 最小偏好度，初始为负无穷大        for (Integer itemId : predictItemVal.keySet()) {            if (realItemVal.containsKey(itemId)) {                continue;// 预测偏好度的物品在真实偏好度物品中，不处理            }            double predictRating = this.predict(userId, itemId);// 预测值            if (predictRating < 0) {                continue;            }            result.put(itemId, predictRating);        }        List> list = Lists.newArrayList(result.entrySet());        Collections.sort(list, new Comparator>() {            // 降序            public int compare(Map.Entry o1, Map.Entry o2) {                if (o2.getValue() > o1.getValue()) {                    return 1;                } else if (o2.getValue() < o1.getValue()) {                    return -1;                } else {                    return 0;                }            }        });        List> topN = list.subList(0, count);        System.out.println("用户" + userId + "前" + count + "个推荐结果：");        for (Entry entry : topN) {            System.out.println(entry.getKey() + ":" + entry.getValue());        }        return topN;    }    public Map getUserF() {        return userF;    }    public void setUserF(Map userF) {        this.userF = userF;    }    public Map getItemF() {        return itemF;    }    public void setItemF(Map itemF) {        this.itemF = itemF;    }}

有两点要说一下：

1. 训练集采用的是MovieLens的数据，地址：https://grouplens.org/datasets/movielens/，我选的是最小的数据集ml-latest-small.zip，下载地址：http://files.grouplens.org/datasets/movielens/ml-latest-small.zip。其中的ratings.csv就是用户对电影的评分数据。
2. LFM其实更适合预测用户对物品的评分(偏好度)，当然了，评分越高自然越推荐了。在getRecommondItemByUserId()方法中，取出TopN推荐，我使用的方法其实不怎么优化，完全可以使用优先队列来处理。