🎈🎈快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N), 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。
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P1226 【模板】快速幂||取余运算 |
🍸快速幂:
👩🏻🏫从一道模板题入手来了解快速幂~
⭐常规幂运算的时间复杂度为,主要取决于指数的大小。题目中的指数最大可以是,显然在1s内算不出结果,这时就要用到快速幂这个技巧了。
✨如何快速幂呢?✨
- 以题目中的样例为例,由幂运算的性质,可以拆分成,可以继续拆分成…
- 再由二进制的运算性质,不妨将指数写成二进制形式, ==>,那么计算可以根据指数的二进制形式拆开成:
- 所以,我们可以先将结果设置为1,然后从低位到高位判断二进制形式指数上的每一位(二进制的每一位从第到高分别代表
1,2,4,8,16...
次幂,换句话说就是第n位二进制数代表次幂)如果是0则跳过,如果是1则将结果乘以底数的次幂。 - 如何判断每个二进制位是不是1呢?可以通过和1进行与运算的方式,判断最低位是不是1,然后再右移一位依次进行判断。
- 这种方法的时间复杂度取决于指数二进制形式的位数,为。
- 题目中还要求我们对结果取模,然而由于幂运算的结果可能很大,在计算过程中就有可能溢出,所以必须在计算过程中就对每一次的计算结果取模。由同余定理可知这样做并不会影响最终结果。
- 同余定理:
🍦模板代码(Java):
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static long fastPower(long a, long b, long p) {
long res = 1;
while (b > 0) {
if ((b & 1) == 1)
res = (res * a) % p;
a = (a * a) % p;
b = b >> 1;
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
int p = sc.nextInt();
sc.close();
long res = fastPower(a, b, p);
System.out.println(a + "^" + b + " mod "+ p+ "=" + res);
}
}
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本文介绍了第三个小技巧——快速幂,可以将传统幂运算的降低为~
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@作者:Mymel_晗,计科专业大学牲一枚,请大佬们多多关照~