图的基本信息13

1. 图的定义

图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边组成,通常表示为:G(V,E),其中,G 表示一个图,V 是图 G 中顶点的集合,E 是图 G 中边的集合。记作G=(V, E) G:Graphics 图形 V:Vertex 顶点 E:Edge 边
• 线性表中将数据元素叫元素,树中将数据元素叫结点,在图中数据元素称之为顶点(Vertex)。
• 顶点集合 V 有穷非空。
• 图中,任意两个顶点之间都可能有关系,顶点之间的逻辑关系用边来表示,边集可以是空的。

2、有向图和无向图

如果边是有方向的则称为有向图(左),如果边没有方向则称为无向图(右):

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_无向图

3、图的基本术语

弧:有向图中连接顶点的称作弧,如下图红线所示:

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_数据结构_02


弧尾:弧的初始点,例如上图中的v3

弧头:弧的终端店,例如上图中的v4

边:在无向图中与弧对应的称作边,如下图红线表示

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_有向图_03


无向完全图:任意两个顶点之间都存在一条边: 有n/2(n-1)条边

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_图论_04


有向完全图:具有n(n-1)条弧的有向完全图称为有向完全图,如下

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_图论_05


简单图:在图中,若不存在顶点到自身的边,且同一条边不重复出现,则称这样的图为简单图。

稀疏图:有很少的边

稠密图:有很多的边,最稠密的图就是完全图

权:图的边或弧具有与它相关的数,这种与图的边或弧相关的数叫做权

网: 每个边或弧都附加一个权值的图,称为带权图。而带权的连通图称为网,如下图所示:

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_有向图_06


邻接点:无向图中,若两顶点之间至少有一条边,则称这两个点互为邻接点(对于有向图,弧头邻接自弧尾)

度:依附于顶点的的边的数目

出度:以任意一顶点为起点的弧的数目称为该顶点的出度

入度:以任意一顶点为终点的弧的数目称为该顶点的入度

顶点的出度与入度之和等于该顶点的度

路径:对于无向图,若从顶点a经过若干条边能到达顶点b,则称顶点a与b是连通的,又称顶点a到b有路径

有向路径:对于有向图,则称顶点a到b有有向路径

路径上边或弧的数目称为该路径的长度

回路:在有向图中,从任意一顶点走一圈能够重新指回该顶点

连通:在无向图中,如果从顶点a到顶点b有路径,则称a和b是连通的

连通分量:指的是无向图中的极大连通子图

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_连通图_07


例如上图,因为(a)可以分解为(b),所以说图G3有3个连通分量

注意连通分量的概念,他强调:

1、要是子图;

2、子图要是连通的;

3、连通子图含有极大顶点数;

4、具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

例如,下图(1)不是连通图,而图(2)和(3)是图(1)的两个连通分量

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_连通图_08


连通图:无向图任意两个顶点间都是连通的则是连通图。对于一有n个顶点的无向图:若是连通图则边数:[n-1, n(n-1)/2];若要保证是连通图则边至少需是 :(n-1)(n-2)/2+1,即此时n-1个顶点构成完全图然后再加一条边。

强连通图:有向图任意两顶点间都是连通的则是强连通图。对于一有n个顶点的有向图,若是强连通图则边数:[n, n(n-1)];若要保证是连通图则边至少需是:(n-1)(n-2)+2。

有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量

例如,下图(a)并不是强连通图,因为顶点 b 到顶点 a 路径不存在。图(b)就是强连通图,而且是图(a)的强连通分量。

图顶点覆盖问题Hopfield神经网络算法 图的顶点信息_有向图_09


生成树:连通图包含n个顶点的极小连通子图为其生成树。

连通图才有生成树,其包含n个顶点、n-1条边;生成树可能不唯一,且不一定是最小生成树。