真值表 python 真值表怎么看

文章目录

• 基本真值表
• 基本语义的真值表刻画

• 重言蕴含(重言后承)与重言等值

• 论说形式的有效性
• 重言蕴含
• 重言等值

• 可满足性

• 可满足性
• 可满足性的简单性质和重言蕴含的关系
• 重言式、矛盾式、或然式

• 三者之间的关系

• 各语义之间的关系

• 简化真值表方法

基本真值表

从语法角度讲，联结词是“公式函数”，即从公式集合到公式集合的函数。也就是说，对于每个联结词，每当给出公式作为输入，这个联结词确定了唯一的公式作为输出。
真值函数是从真值集到真值集的函数，也即从{T,F}到{T,F}的函数。

基本真值表如下：

我们可以用如下规则进行记忆：

• 一个否定式是真的，当且仅当它否定的公式是假的;
• 一个合取式是真的，当且仅当它的合取支都是真的;
• 一个析取式是真的，当且仅当它的析取支中至少有一个是真的;
• 一个蕴涵式是真的，当且仅当它的前件是假的或后件是真的;
• 一个等值式是真的，当且仅当它的两个直接子公式的真值相同。

基本语义的真值表刻画

重言蕴含(重言后承)与重言等值

论说形式的有效性

论说形式的前提和结论的联合真值表称为论说形式的真值表。根据真值表，我们可以进行如下描述(“有效”对应“好”，“无效”对应“坏”)：

• 在一个论说形式的真值表中，前提都真而结论假的每一行，都称为该论说形式的反例。
• 对任何一个论说形式，如果其真值表的任何一行都不是该论说形式的反例，那么这个论说形式是有效的(valid); 否则，这个论说形式是无效的(invalid)。

比如：

由于第一行中，结论都为真，而结论为假，所以我们找到了这个论说形式的反例，所以论说形式是无效的。

重言蕴含

设$\phi_1,\cdots,\phi_n$和$\psi$为任意公式。

• $\left\{\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right\}\left(\right.$ 或 $\left.\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right)$ 重言蕴含 $\psi\left(\left\{\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right\}\right.$ (tautologically
  implies $\psi$ ) 当且仅当在 $\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}$ 与 $\psi$ 的联合真值表中，没有一行是 $\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}$ 都真而 $\psi$ 假, 亦即在它们的联合真值表的每一行中,如果 $\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}$, 的真值都是 $\mathrm{T}$, 那么 $\psi$ 的真值也一定是 $\mathrm{T}$。
• $\psi$ 是 $\left\{\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right\}$ (或 $\left.\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right)$ 的重言后承 (tautological consequence) 当且仅当 $\left\{\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right\}$ 重言蕴涵 $\psi_{\text {。 }}$

即前提都是T的时候，结论一定也是T。

根据重言蕴含的定义，我们可以得到以下两个问题等价：

• $\left\{\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}\right\}$ 重言蕴涵 $\psi$,
• 以 $\phi_{1}, \ldots, \phi_{n}$ 为前提并以 $\psi$

重言等值

$\phi$ 与 $\psi$ 重言等值 (tautologically equivalent) 当且仅当在 $\phi$ 与 $\psi$ 的联合真值表的任意一行中, $\phi$ 与 $\psi$ 有同样的真值，亦即在它们的联 合真值表的每一行中，如果 $\phi$ 的真值是 $\mathrm{T}$, 则 $\psi$ 的真值也是 $\mathrm{T}$; 并 且如果 $\phi$ 的真值是 F，则 $\psi$ 的真值也是 $\mathrm{F}$。

我们可以得到下列命题等价：

• $\phi$与$\psi$重言等值
• $\phi$与$\psi$相互重言蕴含($\phi$与$\psi$分别是对方的重言后承)

可满足性

可满足性

这里的可满足性其实就是之前所说到的语义一致性。

• 设$\Gamma$为任意有穷的公式集合。 $\Gamma$ 是可满足的 (satisfiable) 当且仅当 $\Gamma$ 中公式的联合真值表中存在某一行，在该行里$\Gamma$中的公式的真值都是 $\mathrm{T}。 \Gamma$
• 设 $\phi$ 为任意公式。 $\phi$ 是可满足的当且仅当$\{\phi\}$ 是可满足的。 $\phi$是不可满足的当且仅当 $\{\phi\}$

所谓的可满足也就是存在一组赋值，使得集合里所有公式的值都为T。

可满足性的简单性质和重言蕴含的关系

设$\Gamma = \lbrace \phi_0, \cdots,\phi_n \rbrace$为任意有穷公式集，$\phi$为任意公式，我们有：

• 如果 $\Gamma$ 可满足，那么对任何公式集 $\Delta, \Gamma \cap \Delta$
• 如果 $\Gamma$ 不可满足，那么对任何公式集 $\Delta, \Gamma \cup \Delta$
• 设 $\Gamma \subseteq \Delta$, 其中 $\Delta$ 是任意有穷公式集。如果 $\Delta$ 可满足则 $\Gamma$ 可满 足（如果 $\Gamma$ 不可满足则 $\Delta$
• $\Gamma \cup\{\sim \phi\}$ 不可满足当且仅当 $\Gamma$ 重言蕴涵 $\phi_{\circ}$(根据重言蕴含的定义，当其他公式都为T是$\phi$也一定为T)
• 对任意 $i \leqslant n, \Gamma$ 不可满足当且仅当 $\Gamma-\left\{\psi_{i}\right\}$ 重言蕴涵 $\sim \psi_{i}$(同上)
• 如果 $\Gamma$ 不可满足，那么 $\Gamma$ 重言蕴涵 $\phi_{\circ}$(因为没有每一行都为T的时候)
• 如果 $\sim \phi$ 不可满足，那么 $\Gamma$ 重言蕴涵 $\phi_{\circ}$(同上)
• 如果 $\Gamma$ 重言蕴涵 $\phi$ ，并且 $\Gamma$ 可满足，那么 $\phi$ 也可满足。(说明$\Gamma$中公式为真的时候，$\phi$必为真；那么肯定存在一组赋值能使$\phi$为真)
• 如果 $\Gamma$ 重言蕴涵 $\phi$ 并且 $\Gamma$ 重言蕴涵 $\sim \phi$, 那么 $\Gamma$

重言式、矛盾式、或然式

• 公式 $\phi$ 是重言式当且仅当在其真值表的每一行中, $\phi$ 的真值都是 $\mathrm{T}$, 即 $\phi$
• 公式 $\phi$ 是矛盾式当且仅当在其真值表的每一行中, $\phi$ 的真值都是 F, 即 $\phi$
• 公式 $\phi$ 是或然式 $($ 偶然式）当且仅当在其真值表中, $\phi$ 的真值在某 些行中是 $\mathrm{T}$, 而在另一些行中是 $\mathrm{F}$, 即 $\phi$

三者之间的关系

• 重言式的否定是矛盾式。
• 矛盾式的否定是重言式。
• 或然式的否定还是或然式。
• 重言式与重言式的合取是重言式。
• 重言式与矛盾式的合取是矛盾式。
• 重言式与或然式的合取是或然式。
• 矛盾式与矛盾式的合取是矛盾式。
• 矛盾式与或然式的合取是矛盾式。
• 或然式与或然式的合取或者是或然式，或者是矛盾式。

各语义之间的关系

设$\phi,\psi,\phi_0, \cdots,\phi_n$为任意公式，且$\Gamma = \lbrace \phi_0, \cdots,\phi_n \rbrace$。

• $\phi$ 重言蕴含$\psi$ 当且仅当 $\phi \rightarrow \psi$ 是重言式;(这里$\phi$是指的公式，而不是变元，是多个变元组成的公式)
• $\phi$ 重言等值于 $\psi$ 当且仅当 $\phi \leftrightarrow \psi$ 是重言式，当且仅当 $\psi \rightarrow \phi$ 与 $\phi \rightarrow \psi$
• $\Gamma$ 重言蕴涵 $\psi$ 当且仅当 $\phi_{0} \wedge \cdots \wedge \phi_{n} \rightarrow \psi$
• $\phi_{0} \wedge \cdots \wedge \phi_{n} \rightarrow \psi$ 与 $\phi_{0} \wedge \cdots \wedge \phi_{n-1} \rightarrow\left(\phi_{n} \rightarrow \psi\right)$
• 如果 $\phi$ 是重言式，那么 $\Gamma$ 重言蕴涵 $\phi$;
• $\Gamma$ 可满足当且仅当 $\phi_{0} \wedge \cdots \wedge \phi_{n}$
• $\Gamma$ 不可满足当且仅当 $\phi_{0} \wedge \cdots \wedge \phi_{n}$
• 如果 $\phi$ 是重言式, 那么 $\Gamma$ 是可满足的当且仅当 $\Gamma \cup\{\phi\}$
• 如果 $\phi_{i}(i \leqslant n)$ 是重言式，那么 $\Gamma$ 是可满足的当且仅当 $\Gamma-\left\{\phi_{i}\right\}$是可满足的; 如果 $\phi$ 是矛盾式，那么 $\Gamma \cup\{\phi\}$ 是不可满足的; 如果 $\phi_{i}(i \leqslant n)$ 是矛盾式, 那么 $\Gamma$

简化真值表方法

类似于反证法。
比如用简化真值表来判断论说是否有效时，我们根据论说有效的定义(不存在前提为真而结论假的一行)，那么我们就令前提都为真，而结论为假；再根据这种假设算出直接子公式的真值，进而在算出每个变元的取值(如果遇到了合取为假或者析取为真的情况是要分情况讨论)。如果一个变元既是真的有是假的，那么我们就证明了这个论说形式是有效的。
因为我们假设存在前提为真而结论假的一行，推出了矛盾，进而证明假设不成立，也就是不存在前提为真而结论假的一行，那么我们就证明了论说的有效性。