正则化--L1-lasso回归和L2-岭回归
- 1- 过拟合 欠拟合 模型选择
- 2- 正则L1与L2
- 3- L2正则代码复现
- 3-1 底层逻辑实现
- 3-2 简洁实现
1- 过拟合 欠拟合 模型选择
1-1 欠拟合:
- 在训练集和测试集上都不能很好的拟合数据【模型过于简单】
原因: 学习到的数据特征过少 - 解决办法:
1.得到更多的特征【特征组合,添加上下文特征,平台的特征】.
2.添加多项式特征,使得模型的泛化能力更强.
1-2 过拟合:
- 在训练集上表现很好,在测试集上表现不好【模型过于复杂】
- 问题: 特征存在异常,噪声,模型过于复杂
- 过拟合的一些解决办法
- 1.正则化:L1正则【使得特征系数为0 –Lasso回归】/L2正则【使得特征系数趋近于0–Ridge回归】
- 2.在神经网络里面:设置drop out 随机失活
- 3.提前终止训练 early stopping【正则化迭代学习方法,在验证错误率达到最小值的时候停止训练,通过限制错误率的阈值,进行停止】
- 4.随机森林里面:预剪枝和后剪枝
- 5.增加数据量【重采样】,清洗数据
- 6.减少特征维度,防止维度灾难
- 7.降低模型的复杂度,采用交叉验证等.
1-3 模型选择
- 模型选择是指如何选择最适合数据的模型。在选择模型时,需要考虑模型的复杂度、泛化能力、可解释性、训练时间和计算资源等因素。
常用的模型选择方法包括交叉验证、网格搜索、贝叶斯优化等。
- 交叉验证可以评估不同模型的性能
- 网格搜索可以在参数空间中搜索最优参数
- 贝叶斯优化则可以更有效地搜索参数空间
2- 正则L1与L2
为了防止过拟合,通常在线性的模型的基础上引入一个正则化项。$L_1$和$L_2$正则化中,正则项是模型参数的$L_1$范数和$L_2$范数。
- : ,当λ>0,就是Lasso回归,λ=0就是线性回归
- : ,当λ>0,就是岭回归,一般写成
Lasso回归中的L1正则项是绝对值之和,使得某些特征系数为0,岭回归中的L2正则项是平方和,使得某些特征系数趋近于0
#弹性网络 Elastic Net 综合lasso和ridge两个方法
from sklearn.linear_model import Ridge, ElasticNet, Lasso
Lasso回归和岭回归都是基于最小二乘法(OLS)的基础上进行的。OLS是通过最小化实际值和预测值之间的误差平方和来得到模型参数的,但是它容易产生过拟合的问题。为了解决这个问题,Lasso回归和岭回归引入了正则化项,对模型参数进行限制。
Lasso回归(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression)
- 通过在目标函数中加入L1正则项,将模型参数向零稀疏化。L1正则化在优化过程中会将一些不重要的特征对应的参数收缩到零,从而实现了特征选择的功能。Lasso回归可以在高维数据中寻找到较少的重要特征,从而提高了模型的泛化能力。
岭回归(Ridge Regression)
- 通过在目标函数中加入L2正则项,将模型参数平滑化。L2正则化在优化过程中会让所有参数都往零收缩,但是不会将任何参数完全收缩到零,从而保留了所有的特征,避免了Lasso回归可能出现的特征丢失问题。岭回归在处理多重共线性问题时效果很好,可以有效减少共线性带来的影响。
总之,Lasso回归和岭回归都是非常有用的正则化方法,可以在机器学习任务中提高模型的性能和稳定性。当数据集具有大量特征、多重共线性或者存在噪声时,这两种方法都可以用来提高模型的泛化能力和减少过拟合的风险
3- L2正则代码复现
3-1 底层逻辑实现
创建一个高维线性回归实验
,ε服从均值为0,标准差为0.01的正态分布
特征维度为200,将训练数据集的样本设低20
import numpy as np
import torch
import torch.nn as nn
#
n_train,n_test,num_inputs = 20,100,200#样本,特征
true_w,true_b = torch.ones(num_inputs,1)*0.01,0.05
#生成特征
features =torch.randn((n_train+n_test,num_inputs))
labels = torch.matmul(features,true_w)+true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0,0.01,size=labels.size()),dtype=torch.float)
#划分训练集和测试及
train_features, test_features = features[:n_train, :], features[n_train:, :]
train_labels, test_labels = labels[:n_train], labels[n_train:]
模型相关函数
#画图
def use_svg_display():
# 用矢量图显示
display.set_matplotlib_formats('svg')
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
use_svg_display()
# 设置图的尺寸
plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
def semilogy(x_vals, y_vals, x_label, y_label, x2_vals=None, y2_vals=None,
legend=None, figsize=(3.5, 2.5)):
set_figsize(figsize)
plt.xlabel(x_label)
plt.ylabel(y_label)
plt.semilogy(x_vals, y_vals)
if x2_vals and y2_vals:
plt.semilogy(x2_vals, y2_vals, linestyle=':')
plt.legend(legend)
def init_params():
w = torch.randn((num_inputs,1),requires_grad = True)
b = torch.zeros(1,requires_grad=True)
return [w,b]
#定义L2范数,惩罚项
def l2_penalty(w):
return (w**2).sum()/2
#定义模型
def linreg(X, w, b):
return torch.mm(X, w) + b
#定义代价
def squared_loss(y_hat, y):
# 注意这里返回的是向量, 另外, pytorch里的MSELoss并没有除以 2
return (y_hat - y.view(y_hat.size())) ** 2 / 2
#定义随机梯度下降
def sgd(params, lr, batch_size): #
for param in params:
param.data -= lr * param.grad / batch_size
#封装数据
dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features,train_labels)
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset,batch_size,shuffle=True)
训练
batch_size,num_epochs,lr = 1,100,0.003#批次,迭代次数,学习率
#模型与损失均方误差函数
net=linreg
loss=squared_loss
#
def fit_and_plot(lambd):
w,b=init_params()
train_ls,test_ls=[],[]
for _ in range(num_epochs):
for X,y in train_iter:
l = loss(net(X,w,b),y)+lambd*l2_penalty(w)
l = l.sum()
if w.grad is not None:#梯度清0
w.grad.data.zero_()
n.grad.data.zero_()
l.backward()#反向传播
sgd([w,b],lr,batch_size)#参数更新
train_ls.append(loss(net(train_features,w,b),train_labels).mean().item())
test_ls.append(loss(net(test_features,w,b),test_labels).mean().item())
semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
print('weight:', net.weight.data,
'\nbias:', net.bias.data)
观察过拟合λ=0的情况
使用L2,λ>0
3-2 简洁实现
num_inputs = 200
def fit_and_plot_pytorch(wd):
#对权重参数衰减,权重名称一般是以weight结尾
net = nn.Linear(num_inputs ,1)
nn.init.normal_(net.weight,mean=0,std=1)
nn.init.normal_(net.bias,mean=0,std=1)
optimizer_w = torch.optim.SGD(params = [net.weight],lr=lr,weight_decay=wd)#weight_decay权重衰减
optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias],lr=lr)#不对偏置进行衰减
train_ls,test_ls = [],[]
for _ in range(num_epochs):
for X,y in train_iter:
l = loss(net(X),y).mean()
optimizer_w.zero_grad()
optimizer_b.zero_grad()
l.backward()
#更新权重参数
optimizer_w.step()
optimizer_b.step()
train_ls.append(loss(net(train_features),train_labels).mean().item())
test_ls.append(loss(net(test_features),test_labels).mean().item())
semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())
wd=0
wd>0