多元线性回归知识总结
模型：
(i=1,...,n)
其中
为个体i的第k个解释变量（共有n个个体，k个解释变量）。
由于绝大多数回归方程都有常数项，故
（恒为1）。
拟合优度：
（可决系数）
，
越大，样本回归线对数据的拟合效果越好。
拟合优度的缺点：如果解释变量的数目增加时，则
只增不减，因为至少可以让新增解释变量的系数为0而保持
不变。为此引入校正拟合优度。
校正拟合优度：
（对解释变量过多进行惩罚）
对线性假设的F检验(又称联合显著检验)
目的：整个回归方程是否显著，即除常数项之外，所有回归系数是否都为0。
原假设H0:
F检验方法（一）：
- 计算显著水平下的临界值,其中m为线性假设的个数，n为总个体数，k为解释变量的个数，的定义为；
- Stata中给出F，若F<,即落入左边接受域（接受原假设），反之落入右边拒绝域（拒绝原假设）。
F检验方法（二）：
利用stata中给出的p值
这里要明确p值的意义：原假设可被拒绝的最小显著性水平为此假设检验问题的p值。
若p>
,则说明原假设可被拒绝的最小显著性水平大于选定的显著性水平
或者默认的0.05，故可以接受原假设；
若p<
,则说明原假设可被拒绝的最小显著性水平小于 选定的显著性水平
或者默认的0.05，故拒绝原假设。
实例练习
先打开数据集，输入命令d来查看数据的一些信息
（1）stata命令： reg airq vala rain coast density income
（上表各项的含义要掌握！！！）
回归结果：
(2) 检验原假设“平均收入对空气质量没有影响”
H0=
stata命令：test income=0
用上述两种方法检验：（
）
=4.26，由于F值0.43<4.26,落入接受域，故接受原假设H0，即平均收入对空气质量没有影响。
p值0.5205>0.05，接受原假设，即平均收入对空气质量没有影响。
（3） 上面的知识回顾中有介绍F检验又称联合显著性检验。
检验density和income的联合显著性，即H0:
stata命令： test density income
为 3.40,F值0.38<3.40,落入左侧接受域，接受原假设，即空气质量指数airq与density和income无关。
p值0.6857大于0.05，接受原假设，即空气质量指数airq与density和income无关。
（4） 检验coast和rain的联合显著性，即H0:
stata命令： test rain coast
为3.40，F值5.12>3.40,落入右侧拒绝域，拒绝原假设，即空气质量指数airq与rain和coast都有关。
p值0.0141小于0.05，拒绝原假设，即空气质量指数airq与rain和coast都有关。
（5）所有解释变量的联合显著性检验就是第（1）问方差分析图右上角圈起来的部分
也可再次使用test vala rain coast density income命令
为2.62 ，F值2.98大于2.62，落入拒绝域，拒绝原假设，即airq与vala、rain、coast、density、income都有关系。
p值0.0313小于0.05，拒绝原假设，即airq与vala、rain、coast、density、income都有关系。
（1）stata命令： reg y competitors pop income
回归结果 ：
(2)由第一问的方差分析表可知拟合优度为0.6182（越接近1，拟合效果越佳），该模型
可以较好的拟合已知数据。
competitors变量的p值为0，小于0.05，拒绝
的假设，即competitors对y是有反向影响的。
pop变量的p值为0，小于0.05，拒绝
，即pop对y有影响。
income变量的p值为0.025，小于0.05，拒绝
，即pop对y有影响。
（3）由回归系数可知，competitors对y毛销售收入有较强的反向影响 ，pop的系数小于1，income的系数大于1，故三英里居民人数pop对y的影响远小于三英里家庭平均收入。在选址时，应优先选择周围竞争者少的，然后考虑三英里内家庭平均收入（选income大的），在兼顾以上两个主要因素后，最后考虑pop三公里居民人数。
