最近需要用到摄动法，开一个贴来记录一下。先来看一个扰动法的例子：
（1）
假设我们目前没有确切的解法来求出x的值，但是我们有一个近似的方程：
（2）
我们可以得到这样一个式子：
（3）
我们把式（1）作为式（2）的一个扰动方程
（4）
我们假设扰动方程的解接近没有扰动方程的解：
然后我们将扰动解带入原方程式（1），得到：
因为
被假设为很小的值，那么
，则
为：
那么方程的一个解为：
同理，方程的另一个解为：
最终方程的近似解为：
原方程的实际解：
和
，近似解和实际非常接近
在微扰分析中，非线性方程的解将用一个级数表示，每一项都乘以微扰参数εk，其中k是项的个数。由扰动方法生成的级数不一定会收敛，但仍会通过截断级数来逼近解。
如果方程的解已用有限数量的已知函数表示，则认为该方程已求解。这仅在特殊的情况下是可能的。我们可以做的是按照重要性的相同顺序近似地、定性地或数值地解决问题。
这本书的组织结构很好，可以用于教学或自学。
本书分为两部分：第一部分和第二部分。
第一部分分为三章，涵盖了学习第二部分所需的初步知识。
第 1 章包含有关扰动含义的基本信息。
第2章回顾了工程系统建模知识和微分方程间接分析方法。第三章介绍了函数逼近的方法。第二部分是本书的主要部分，分为六章，涵盖了微扰分析的方法。
第 4 章介绍了确定方程近似周期解和适合确定频率响应的最合乎逻辑和最实用的微扰方法。第5章介绍了适用于求自变量域微分方程响应的最基本的微扰方法。
第6章是对寻找周期解和确定方程频率响应的直接方法的扩展。
第7章介绍参数方程并展示 Lindstedt-Poincar´e 方法如何发现方程的 Mathieu 函数和稳定性图。
第8章介绍了笛卡尔坐标到极坐标变换方法的优点和应用。它适用于确定周期性受迫动态系统的频率响应。
第 9 章是确定时域和频域微分方程解的有力方法。
本章将介绍规范函数、阶数符号、扰动系数和将微分方程分解为线性和非线性项、扰动解的原理以及加权残差方法的回顾。
微扰技术是基于非线性微分方程中小参数的存在，通常用ε表示，称为微扰系数。微扰技术利用微扰系数将一个非线性方程转化为无数个线性方程，然后用前几个线性方程的解之和来近似。前几个步骤揭示解决方案的重要特征而其余步骤给出小的修正时，扰动理论最有用。函数 f(x, ε) 应该是一个微分方程的解，其中 x 是自变量，ε 是参数。 对于任意 ε，由于 ε! = 0 的微分方程的非线性，如果我们不能解决这个问题。我们可以通过考虑控制这个展开的每一项的更简单的微分方程序列来计算解的渐近展开。这就是扰动的原理。
我们可以将扰动技术的应用总结为三个步骤：
1.通过引入小扰动参数 ε，将原始非线性方程转换为扰动问题。
2.假设答案的表达式为扰动序列形式并计算该序列的系数。
3.通过为适当的 ε 值求和扰动序列来恢复原始方程的答案。
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