ACM动态规划算法_C语言课件
指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 动态规划算法 动态规划算法的特点： 动态归化算法是将问题分解成若干个子问题，通过求解 这些子问题的最优解来求整个问题的最优解。与分治法不同 的是，这些子问题往往并不相互独立，不能将子问题的解作 为最后问题的解。动态规划往往用于求解问题的最优解。 例1：给定n个矩阵的连乘表达式，求其最少需要多少次 乘法运算才能计算出乘法运算的结果。 分析： 设m[i][j]表示计算出Ai Ai+1…Aj所需要的最少次乘 法运算。而假设要得出这样的最优解需要从第k个位置断开 ，这样就将其分解成两个部分，前一部分的最优计算次数为 m[i][k], 后一部分的最优次序为m[k+1][j]，显然有下面的表 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 达式存在： m[i][j]=0； i=j 因为在i=j时表示只有一个矩阵，没有进行乘法运算，其 乘法运算的次数为0。 m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj 其中im[2][2]-m[3][3] m[0][1]-m[1][2]-m[2][3] m[0][2]-m[1][3] m[0][3] 从上面的计算顺序可以看出类似于一个上三角矩阵，先 计算斜线上的元素，并依次向上递推。 如果希望知道采用何种方式才能实现乘法次数最少，可用 一个数组s[i][j]来记录m[i][j]最优解时的k值。每一个m[i][j]对应 一个s[i][j]，这样就可知道如何分解上述矩阵表达式以得到最 小的乘法次数了。上例中k值依次为0-2 在上例中,最后的分解结果为(A0[10][100]*(A1[100][50]* A2[50][2]))*A4[2][10]。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 从上面的求解过程来看，动态规划问题取决于两个重要 的性质： 1、最优子结构性质：问题的最优解包含了其子问题的最 优解。 2、子问题重叠性质：后续问题的求解可通过前面的子问 题的求解结果计算出来。 因此可通过动态规划基本上可通过递归算法实现。 例2：设序列Ｘ={x1,x2,x3…,xm}, Y={y1,y2,y3,…,yn}, 求这 两个序列的最长公共子序列Z。 设Z={z1,z2,z3,…zk}, 则必有下面的结论存在： (1)如果xm=yn,说明xm或yn一定是最长公共子序列中的最 后一个元素，即zk=xm=yn。同样可以得出{z1,z2,z3,…, zk-1}是 序列Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 (2)如果xm≠yn且zk≠xm，说明xm不是Z中的一个元素，Z中 的元素与X中的最后一个元素无关，因此Z是Xm-1与Yn的最长公 共子序列。 (3)如果xm≠yn且zk≠yn，说明yn不是Z中的一个元素，Z中 的元素与Y中的最后一个元素无关，因此Z是Xm与Yn-1的最长公 共子序列。 基于上述认识，我们可以建立一个数组C[i][j]用于记录 Xi和Yj的最长公共子序列的长度，显然有如下的表达式成立 。 (1)当i=0或者j=0时，C[i][j]=0； (2)当i,j0且xi=yj时，C[i][j]=C[i-1][j-1]+1; (3)当i,j0且xi≠yj时，C[i][j]=max(C[i][j-1],C[i-1] [j]} 因此只要计算出上面的递推式就可以计算出其长度。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 显然上述算法的实现与前面的例子相同。如果希望求出其 最长公共子序列，可设置一个数组b[i][j]，用于记录是哪一个 子序列求得的解。 当b[i][j]=1时，表示Zk是在原来Zk-1的基础上加上Xi或者Yj 得到，因为此时Xi=Yj。 当b[i][j]=2时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi-1和Yj 的 最长公共子序列相同。 当b[i][j]=3时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi和Yj 的 最长公共子序列相同。 可通过求得的b[i][j]然后再计算出其最后的子序列。当然 也可在求解过程中计算其最后的最序列。其程序见 MaxLength.cpp. 该算法还可作一定程度的改进以提高其运行速度。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 例3：已知某整数序列A=(a1,a2,…,an),求该序列的最大 子段和。 分析：显然要求其最大子段和可通过一个3重循环求得 。首先把序列分解成两个部分，对于前一部分，我们已经计 算出其所有可能的组合结果，后一部分则分别计算其所有组 合中的最大值，并于前面求得的最大值进行比较，如果比前 面求得的最大值还大则取代前面的最大值。这样可求得其最 大子段和。 上述算法执行时间太长。可采用分治法求解，以降低时 间复杂度。 分治法的思想是将序列分解成两个相同的部分，显然可 得到如下几种情形： (1)整个序列的最大子段和与前一部分的最大子段和同 。 (2)整个序列的最大子段和与后一部分的最大子段和同 。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 (3)整个序列的最大子段和由前面序列的部分元素和后面 序列的部分元素组成。实际上是从中间往两边找，分别查找 其左边的最大值和右边的最大值，并记录对应的位置。 前面(1)(2)均可利用递归进行求解，后面可通过搜 索获得。其程序见MaxSum.cpp。 该程序也可采用动态规划的方法求得。若设b[j]表示为式1 。所求得的最大子段和可表示为式2的形式。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 显然，当b[j-1]0时，b[j]=b[j-1]+a[j],否则b[j]=a[j]。因为 b[j]表示从i到j的的元素之和的最大值，显然若前面求得的最 大子序列之和小于等于0，则需要抛弃前面的元素，重新从 a[j]开始求新的子序列，而不是从前面求得的最大子序列的位 置开始计算。其程序见MaxSum.cpp。 例4：求凸多边形的最优三角剖分。 多边形的三角剖分是将多边形分割成互不相交的三角形 的弦的集合T。 给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三 角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得 该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品，但是不包括以治疗为目的的物品，在餐
