1-* 9.2 小波变换 小波分析，是泛函分析、傅立叶分析、样条理论、调和分析以及数值分析等多个学科相互交叉、相互融合的结晶。小波分析属于时频分析的一种。它是一种多尺度的信号分析方法，是分析非平稳信号的强有力工具。它克服了短时傅立叶变换固定分辨率的缺点，既能分析信号的整个轮廓，又可以进行信号细节的分析。 小波变换是一种信号的时间—— 频率分析方法，具有多分辨率分析信号的特点，而且在时域和频域内都具有表征信号局部特征的能力，是一个范围可变的窗口方法。它可以用长的时间间隔来获得更加精确的低频率的信号信息，用短的时间间隔来获得高频率的信号信息。小波分析的主要优点之一就是能够提供局部细化与分析的功能。 1-* 9.2 小波变换 傅立叶变换虽能够较好地分析信号的频域特性，但它不能提供有关频率成分的时间局部信息，不能把信号的时域特征和频域特征有机地结合起来。这是因为傅立叶变换所采用的标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，它们在时域上没有任何局部性信息。 为了克服傅立叶变换只在频域内的局部分析的能力，Gabor在1964年提出了短时傅立叶变换(Short-time Fourier Transform，简称STFT )。其基本思想是，把信号首先划分为许多小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一段小的信号间隔，以便确定信号在该时间间隔存在的频率。 1-* 9.2 小波变换 为了克服傅立叶变换没有任何局部化特性和短时傅立叶变换固定分辨率的缺陷，希望用于信号分解的基函数是持续时间很短的高频函数和持续时间很长的低频函数。严格地说，就是要求这些基函数具有足够的光滑性，函数本身及其倒数在无穷远处速降，具有紧支撑集和高阶消失矩，即小波基函数。 1-* 9.2 小波变换 1-* 9.3 常用小波函数简介 小波分析在工程的实际应用中，非常重要的问题就是最优小波基函数的选取问题。小波分析中所用到的小波函数具有不惟一性。当前主要根据小波分析信号的实际结果与理论结果的误差来确定小波基的选取。 小波的性质根据以下几个标准而有所不同： 支撑长度 对称性 消失矩阶数 正则性 1-* 9.3 常用小波函数简介 MATLAB工具箱中存在的、在实际工程中经常使用的小波函数如表9-1所示。 1-* 9.4 小波滤波器的计算函数 在信号处理中小波函数的定义是多种多样的，有的是在时域中定义的，有的是在频域中定义的，有的则是通过滤波器定义的。但它们都可归结为同一个理论。MATLAB工具箱提供了一组计算常用小波滤波器系数的函数，如表9-2所示。 1-* 9.5小波分析在数字信号处理中的应用 9.5.1 连续小波分析 1-* 9.5小波分析在数字信号处理中的应用 9.5.2 一维离散小波分析 1-* 9.5小波分析在数字信号处理中的应用 9.5.2 一维离散小波分析 1-* 9.5小波分析在数字信号处理中的应用 9.5.2 一维离散小波分析 1-* 9.6 基于小波的信号消噪处理和压缩处理 运用小波分析进行一维信号消噪处理和压缩处理，是小波分析的两个重要的应用。使用小波分析可以将原始信号分解为一系列的近似分量和细节分量，信号的噪声主要集中表现在信号的细节分量上。使用一定的阈值处理细节分量后，再经过小波重构就可以得到平滑的信号。 一维信号的消噪处理可分为下面几个步骤进行： (1) 一维信号的小波分解； (2) 小波分解高频系数的阈值量化； (3) 一维小波的重构； 其中，最关键的是如何选取阈值和进行阈值量化处理的方式，它直接关系到信号消噪处理的质量。 1-* 9.6 基于小波的信号消噪处理和压缩处理 用一维小波之所以能够对信号进行压缩，是因为一个有规律的信号可以用一个数据量很小的低频系数和几个高频系数来精确的逼近。用一维小波对信号进行压缩的一般步骤为： (1) 进行信号的小波分解； (2) 将高频系数进行阈值量化处理； (3) 对量化后的系数进行小波重构； 对信号进行比较有效的压缩主要有两种方法。一种方法是对信号进行小波尺度的扩展，采用全局阈值进行压缩，相对简单；另一种方法是根据每一层分解后的效果来确定每一层所采用的不同的阈值，此种方法相对复杂一些，但是效果要相对好一些。 1-* 9.6 基于小波的信号消噪处理和压缩处理 信号的小波压缩处理和消噪处理在本质上是相同的，都是在小波分解域上进行域值处理。其二者的区别主要在于阈值的选择算法不同，既可以使用全局阈值，也可使用自适应阈值。小波分析工具箱中用于信号压缩处理和消噪处理的函数如表9-6