向量求模python 向量求模怎么算

1.矢量（向量）

a.矢量是有方向的。矢量的模是指矢量在空间中的长度。单位矢量是指那些模为1的矢量。

点A到点B的向量AB， AB = B - A;

 

2.矢量运算相关

a.加减乘除，例：

a + b = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)，加法就是每个分量分别相加。这里a、b均是矢量。

a - b = (a_x - b_x, a_x - b_x, a_z - b_z)，减法就是每个分量分别相减。这里a、b均是矢量。

n * b = (n * b_x, n * b_y, n * b_z) ，乘法就是每个分量分别相乘。这里n是标量，b是矢量。

b / n = (b_x / n, b_y / n, b_z / n)，除法就是每个分量分别相除。这里n是标量，b是矢量。

 

b.求模，例：

length(a) = sqrt(a_x² + a_y² + a_z²)，这里a是矢量。

 

c.单位矢量，例：

normalize(a) = a / length(a)，这里a是矢量。

 

d.矢量点积（有些符号不好打，我就用函数表示了）满足交换律。例：

dot(a, b) = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z，这里a、b是矢量。dot(a, b) = a^Tb

而且 dot(a, b) = length(a) * length(b) * cos(A)，A是角A。因此，cos(A) = dot(a, b) / (length(a) * length(b))，如果cos(A) > 0，说明a、b夹角大于90度；cos(A) < 0，说明a、b夹角小于90度；等于0就是等于90度。

如果，length(a) 和 length(b)都是1，那么公式简化：cos(A) = dot(a, b)。因此，角A = arccos(dot(a, b))。

 

e.矢量叉积

叉积一般用来求法向量。

cross(a, b) = (a_y * b_z - a_z * b_y, a_z * b_x - a_x * b_z, a_x * b_y - a_y* b_x)，这里a、b是矢量。

 

叉乘不满足交换律，a、b矢量叉积得到的新向量是垂直于a、b矢量的夹角的平面，就是法矢量。叉乘顺序不同会得到方向不同的矢量，毕竟一个平面有正反两面嘛。

 可以用左右手定则来判断，在此之前先说一下左右手坐标系，拇指代表x轴，食指代表y轴，中指代表z轴，如下图所示：

然后如果是左手坐标系就用左手，右手坐标系就用右手，如下图：

a × b的方向：四指由a开始，指向b，拇指的指向就是a × b的方向，垂直于a和b所在的平面；

b × a的方向：四指由b开始，指向a，拇指的指向就是b × a的方向，垂直于b和a所在的平面；

a × b的方向与b×a的方向是相反的，且有：a × b = -b × a。

 

3.矩阵

a.由m*n个数排成m行n列的表，称为m行n列矩阵。

 

b.矩阵转置

把行的元素变成列的元素，列的元素变成行的元素。

性质1：转置的转置等于原矩阵。

(M^T)^T = M

性质2：相乘后的矩阵等于反向相乘各个矩阵的转置

(AB)^T = B^TA^T 

 

c.矩阵和标量的乘法

是把标量依次和矩阵内的每个元素相乘。

 

d.矩阵加法与减法

前提条件是两个矩阵的行和列都相同，两个矩阵的各个元素之间相加或相减。

 

e.矩阵与矩阵相乘

两个矩阵相乘必须满足第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同。相乘的结果是，第一个矩阵的行 * 第二个矩阵的列的新矩阵。矩阵相乘不满足交换律，但满足结合律。方法是如下图所示：

另外，A * B = 转置(B) * 转置(A)，这里A、B是矩阵，不过要满足相乘的条件。

 

f.单位矩阵

从左上角到右下角的对角线（主对角线）的元素均为1，其余元素为0的方正矩阵称为单位矩阵。任何矩阵与单位矩阵相乘，结果还是原来的矩阵（满足交换律）。

 

g.行列式

 2阶行列式为：

 

3阶行列式为：【ps：主对角线为正（红的），副对角线为负号（蓝的）】

 

n阶行列式：【n阶行列式计算困难，所以就有了代数余子式】

 

 

性质1：|AB| = |A||B|，两个矩阵相乘的行列式结果等于两个矩阵格子的行列式结果相乘。

性质2：|A^T| = |A|，行列式转置结果不变

性质3：矩阵任意行或列为0，行列式为0。

性质4：交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。

性质5：把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

 

h.逆矩阵

逆矩阵必须是方阵（行等于列）。如果一个矩阵的行列式不为0，那么该矩阵可逆。

性质1：一个矩阵和它的逆矩阵相乘的结果为单位矩阵（满足交换律条件）。MM^-1 = M^-1M = I

性质2：逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵。(M^-1)^-1 = M

性质3：单位矩阵的逆矩阵等于原矩阵本身。I^-1 = I

性质4：转置矩阵的逆矩阵等于逆矩阵的转置。(M^T)^-1 = (M^-1)^T

性质5：矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向穿两各个矩阵的逆矩阵。式子：(AB)^-1 = B^-1A^-1

逆矩阵的几何意义是用来还原矩阵变换的，如果一组向量v用矩阵M进行了一次变换，那么对变换后的向量用矩阵M的逆矩阵进行一次变换就会得到原来的矩阵。

M^-1(Mv) = (M^-1M)v = Iv = v

逆矩阵怎么求？例子：

第一步：

 

 

 第二步：

 

第三步：

 

 

 

i.正交矩阵

正交矩阵式一种属性。正交矩阵每一行的模（平方和）都是1。

如果一个方阵M和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵的话，矩阵M就是正交矩阵。MM^T = M^TM = I

正交矩阵矩阵的转置矩阵等于它的逆矩阵。M^T = M^-1   (ps：旋转矩阵和镜像矩阵是正交矩阵)

正交矩阵的几何意义：如果把一组向量转换成3x3的正交矩阵的话，就表示一组向量的各个分量相互垂直。

 

 

j.矩阵变换

因为3x3的矩阵只能表示缩放和旋转，不能表示平移，所以要把矩阵扩充到4x4来表示平移。

(x, y, z, w)，w = 1，代表这是一个点；w = 0，代表这是一个向量，长度无限。

平移矩阵（符号不会打）：

 

 

 平移矩阵的逆矩阵为平移的反向平移，如图：

 

矩阵缩放，如图：

如果k1 = k2 = k3,那么我们称之为等比缩放。

 

缩放矩阵的逆矩阵，如下图：

 

 

选择矩阵，分为三个，分别绕x轴、y轴、z轴旋转，同样也是对于矩阵乘上列向量，如下图所示：

 

 

 

旋转矩阵的逆矩阵等于旋转矩阵的旋转的相反角。旋转矩阵式正交矩阵。

一般，我们是按照这样的顺序做变换：缩放 => 旋转 => 平移。为的是防止坐标的不准确。毕竟矩阵大部分情况下不满足交换律。