连续分布 java

转载

mob64ca1404ed65 2025-04-16 09:11:55

文章标签 连续分布 java 正态分布均匀分布方差 文章分类 Java 后端开发

注：本文针对常用的连续分布：正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布、卡方分布与贝塔分布作了大致的介绍，需要记住它们的参数、数学期望与方差、以及密度函数，一个分布就是一个概率模型。

各种分布之间的关系

1 正态分布连续分布 java_均匀分布

密度函数、分布函数、背景、参数连续分布 java_方差_02 、参数连续分布 java_连续分布 java_03

标准正态分布、标准化变换、由正态分布计算概率值、正态分布的3 连续分布 java_连续分布 java_03 原则

2 均匀分布连续分布 java_方差_05

背景、密度函数、分布函数、均匀分布的密度函数与分布函数图

期望与方差、标准均匀分布

3 指数分布连续分布 java_方差_06

背景、密度函数、指数分布密度函数图、分布函数

数学期望与方差、指数分布的无记忆性

4 伽马分布连续分布 java_均匀分布_07

伽马函数、背景、密度函数、数学期望与方差、与指数分布的关系

5 卡方分布连续分布 java_正态分布_08 （Chi square)

与伽马分布的关系、密度函数、期望与方差

6 贝塔分布连续分布 java_方差_09

背景、贝塔函数、密度函数、数学期望与方差、与均匀分布的关系

【7】对数正态分布连续分布 java_均匀分布_10

【8 】韦布尔分布【9】 t分布【 10 】F 分布

7 常用连续分布表

常用连续分布

各种分布之间的关系

伽马分布与指数分布：
负二项分布与几何分布【离散分布】：
伽马分布与卡方分布：
正态分布与卡方分布：若，则
贝塔分布与均匀分布：

【1 】正态分布

$N\left ( \mu ,\sigma^{2} \right )$

密度函数

正态分布的密度函数曲线又称“钟形曲线”

分布函数

或写成用分号隔开参数和随机变量的形式

其中参数

$-\infty < \mu < +\infty$

，

背景:

测量误差常被认为服从正态分布/【高斯分布】，因为它是由大量微小的、独立的随机因素叠加的结果。

连续分布 java_方差_13

参数

$\mu$

是正态分布的数学期望，即 ,称为正态分布的位置参数/对称中心，以为对称轴，正态分布左右两边的密度函数曲线与x 轴所围的面积各为0.5 ，也是正态分布的中位数。
标准差
$\sigma$
相同，而
$\mu$
不同时，相当于把密度函数曲线沿着x轴作水平位移，如下图所示

（图的右上角备注了不同颜色的曲线对应的参数）

若 ,则 X在离越近取值的可能性越大；离越远取值的可能性越小。

参数

$\sigma$

是正态分布的方差，即 ,
是正态分布的标准差，越小，正态分布越集中，密度曲线越“高瘦”，越大，正态分布越分散，密度曲线越“矮胖”，又称为正态分布的尺度参数。
若 ,则其密度函数
$p\left ( x \right )$
在处有两个拐点。
设 ,则

标准正态分布

称

的正态分布

$N\left ( 0,1 \right )$

为标准正态分布，记U为标准正态变量，标准正态分布的密度函数

$\varphi \left ( u \right )$

和分布函数
$\Phi \left ( u \right )$
满足如下关系：

；对于的值可直接查正态分布表。

标准化变换

正态分布的性质：正态变量的线性变换仍为正态变量，即

若

$X \sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

，则当

$a\not\equiv 0$

时，有

$Y= aX+b\sim N\left ( a\mu +b\: ,\: a^{2}\sigma^{2} \right )$

.若

$X\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

,则

$U=\frac{\left ( X-\mu \right )}{\sigma }\sim N\left ( 0,1 \right )$

,其中

$U=\frac{\left ( X-\mu \right )}{\sigma }$

称为 X的标准化变换。

由正态分布计算概率值

涉及正态分布的概率计算，一般是先转化为标准正态，再查标准正态的分布函数表

$\Phi \left ( u \right )$

，即可求得概率值。

若

$X\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

,则对任意的实数a 与b,有

正态分布的3

$\sigma$

原则

设

$X\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

，则

$P\left ( \left | X-\mu \right |< k\sigma \right ) =\Phi (k)-\Phi (-k)=\begin{Bmatrix} 0.6826 \: ,\: k=1 \\ 0.9545\: ,\: k=2 \\ 0.9973\: ,\: k=3 \end{matrix}$

管理学中的六西格玛原则就是与均值

$\mu$

的标准偏差不小于 6

$\sigma$

，也就是这种差异的绝对值不小于3

$\sigma$

，表示当产品质量控制在这个范围内时，此时的产品无缺陷的概率高达99.73%，这个原则可用来降低产品与服务的缺陷次数。

后期再讲中心极限定理时，还会再次用到正态分布，它可以说是最基础最重要的连续分布了。

参考正态分布（高斯分布）

【2 】均匀分布

$U\left ( a,b \right )$

背景

向区间

$\left ( a,b \right )$

内随机投点，使点落在任意相等长度的小区间内的可能性相等，则落点坐标服从均匀分布

$U\left ( a,b \right )$

密度函数

$p( x )= \begin{Bmatrix} 1/\left ( b-a \right )\: ,\: a< x< b \\ 0\: ,\: otherwise \end{matrix}$

分布函数

连续分布 java_方差_40

均匀分布的密度函数与分布函数图

连续分布 java_均匀分布_41

期望与方差

$E\left ( X \right )=\frac{a+b}{2}$

;

$Var\left ( X \right ) =\frac{\left ( b-a \right )^{2}}{12}$

标准均匀分布

称区间（0，1）上的均匀分布为标准均匀分布，它是导出其它均匀分布随机数的桥梁。

【3】指数分布

$Exp(\lambda)$

背景

很多产品的寿命 可认为（近似）服从指数分布；
一个元器件/设备/系统遇到外来冲击即告失效，则首次冲击来到的时间X(寿命)服从指数分布

密度函数

指数分布密度函数图

连续分布 java_连续分布 java_45

分布函数

数学期望与方差

$E\left ( X \right )=\frac{1}{\lambda } \: ;\: Var\left ( X \right ) =\frac{1}{\lambda ^{2}}$

指数分布的无记忆性

若

$X\sim Exp\left ( \lambda \right )$

，则对任意的

$s> 0,\: t > 0$

，有

$P\left (X> s+t \: |\: X > s\right ) =P\left ( X> t \right )$

【4】伽马分布

$Ga\left ( \alpha ,\lambda \right )$

伽马函数

$\Gamma \left ( \alpha \right )$

称

为伽马函数，其中参数

$\alpha > 0$

，伽马函数具有如下性质：

,n为自然数；或写作

余元公式：对于

$x\in \left ( 0,1 \right )$

,有

$\Gamma \left ( 1-x \right ) \Gamma \left ( x \right )=\frac{\pi }{sin\, \pi x}$

与贝塔函数的关系 :
对于 ;伽马函数是严格凹函数。
x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值:

背景：

若一个元器件能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击即告失效，则第k 次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽马分布

$Ga\left ( k,\lambda \right )$

密度函数:

$\alpha> 0$

为形状参数 ，

$\lambda > 0$

为尺度参数 ；

连续分布 java_均匀分布_58

密度函数图如下所示，

连续分布 java_连续分布 java_59

数学期望与方差

$E(X)=\frac{\alpha }{\lambda}; Var(X)=\frac{\alpha }{\lambda^{2}}$

与指数分布

$Exp\left ( \lambda \right )$

的关系

若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和。即，

若

$X\sim Ga\left ( k,\lambda \right )$

,则

$X= X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k}$

,其中

$X_{i}\sim Exp\left ( \lambda \right ),\: i=1,2,...,k$

【独立同分布】

【 5】卡方分布

$\chi ^{2}\left ( n \right )$

（Chi square)

连续分布 java_连续分布 java_66

连续分布 java_方差_67

与伽马分布的关系

称

$\alpha =\frac{n}{2};\: \lambda =\frac{1}{2}$

的伽马分布为自由度为n的卡方分布，即

$Ga\left ( \frac{n}{2} ,\frac{1}{2}\right )=\chi ^{2}(n)$

密度函数

连续分布 java_方差_70

期望与方差

$E\left ( X \right )=n;\: Var\left ( X \right )=2n$

注：后期再讲数理统计中的t分布与F分布时，再重新细讲卡方分布。参考重要抽样分布：卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布

【6】贝塔分布

$Be\left ( \alpha,\beta \right )$

背景

很多比率，比如，产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率....都是在区间（0，1）上取值的随机变量，可用beta分布来描述这些随机变量

贝塔函数

$B\left ( a,b \right )$

称

为贝塔函数，其中参数

$a> 0,\: b> 0$

。贝塔函数的性质：

密度函数

当

连续分布 java_均匀分布_75

时，为f(x);否则为0.

连续分布 java_方差_76

其中

都是形状参数。【下图中 a就是

$\alpha$

，b就是

$\beta$

】

连续分布 java_均匀分布_79

贝塔分布是定义在（0，1）区间上的连续概率分布，是伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布。

数学期望与方差

$E\left ( X \right )=\frac{a}{a+b};\: Var\left ( X \right )=\frac{ab}{\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+b+1 \right )}$

与均匀分布的关系

当

连续分布 java_方差_81

时的贝塔分布就是区间（0，1）上的均匀分布，即

$Be\left ( 1,1 \right )=U\left ( 0,1 \right )$

【7】对数正态分布

$Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

若X的密度函数为如下，

连续分布 java_均匀分布_84

则称X服从对数正态分布，记为

$X\sim Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

.其中

对数正态分布的密度函数图

连续分布 java_连续分布 java_86

对数正态分布的期望与方差

若

$X\sim Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

，则

$E\left ( X \right )=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\: ,\: Var\left ( X \right )=\left ( e^{\sigma^{2}}-1 \right )e^{2\mu +\sigma ^{2}}$

与正态分布的关系：

若

$X\sim Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

，则

$Y=\textup{Ln} \left (X \right )\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$

【8 】韦布尔分布

连续分布 java_连续分布 java_91

连续分布 java_方差_92

【9】 t分布

连续分布 java_均匀分布_93

【 10 】F 分布

连续分布 java_正态分布_94

7 常用连续分布表

连续分布 java_正态分布_95

连续分布 java_方差_96

本文章为转载内容，我们尊重原作者对文章享有的著作权。如有内容错误或侵权问题，欢迎原作者联系我们进行内容更正或删除文章。

上一篇：vswitch vlan

下一篇：设置容器中的svg宽高充满容器

提问和评论都可以，用心的回复会被更多人看到评论

发布评论

相关文章

官方博客	全部文章	热门标签	班级博客
了解我们	网站地图	意见反馈

鸿蒙开发者社区	51CTO学堂
51CTO	软考资讯