在前面我们学习了KNN是一种基本的分类和回归方法。今天我们继续来学习另一个也能进行分类和回归的方法——决策树（Decision Tree）。那么对此，决策树到底是如何做出决策的呢？请接下来往下看——
思维导图（内容概览）
衡量标准
对于一个统计学习方法，我们需要从模型+决策+算法逐步入手。但是在认识模型之前，特征的选取又是显得特别重要，在决策树法中，存在一些比较重要的概念，即选取特征的标准。
- 评估离散程度常用的有方差、熵、基尼指数
- 方差：适用于连续随机变量，数值有实际意义。
- 熵：适用于离散随机变量，数值没有实际意义。
- 基尼指数：适用于离散随机变量，数值没有实际意义。
- 熵：用于表示随机变量的不确定（混乱）程度，记作
\[H(X) = -\sum_{i=1}^n p_i \log p_i \] - 条件熵：在一直随机变量X的条件下，随机变量Y的不确定性（混乱程度）记作
\[H(Y|X) = \sum_{i=1}^np_iH(Y|X=x_i) \] - 信息增益：在得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少程度，记作
\[g(D, A) = H(D) - H(D|A) \] - 信息增益比：
- 信息增益的缺陷：偏向于选择取值较多的特征。
- 概念：对于A特征的信息增益比，就是信息增益与训练数据集关于特征A的熵之比,记作
\[g_r(D, A) = \frac{g(D, A)}{H_A(D)} \]
- 基尼指数(K为类别数量，Pk为属于k类的概率)定义为：
\[Gini(p) = \sum_{k=1}^Kp_k(1-p_k) = 1 - \sum_{k=1}^Kp^2_k \] - 在特征A的条件下，集合D的基尼指数定义为
\[Gini(D, A) = \frac{|D_1|}{D}Gini(D_1) + \frac{D_2}{D}Gini(D_2) \]
决策树模型
定义：分类决策树模型是一种描述对实例进行分类的树形结构。决策树由节点和有向边组成，结点有两种类型：内部结点和叶结点。内部结点表示一个特征或属性，叶结点表示一个类。用决策树分类，从根结点开始，对实例的某一个特征进行测试，根据测试结果，将实例分配到其子结点；这时，每一个子结点对应着该特征的一个取值。如此递归下去，直至到达叶结点。最后将所有实例进行分类。
决策树模型示意图：
损失函数和剪枝(Pruning)策略
在决策模型中，会存在一个很重要的步骤，那就是剪枝，剪枝能决定最后的决策树的样子。
当遇到一系列的连续值，这是该怎么办？此时需要将连续值进行离散化，也即是需要选取连续值的分界点。
- 剪枝的原因：决策树的过拟合风险过大时，每个叶子节点就分成了一个数据，结果不太如意。
- 剪枝策略：预剪枝，后剪枝。
- 预剪枝：边建立决策树边进行剪枝的操作(更加实用)，比如在选择若干个特征进行先构造决策树。限制深度，叶子节点个数、叶子样本点数、信息增益量等；
- 后剪枝：边建立完决策树后进行剪枝操作。通过一定的衡量标准，叶子节点越多，损失越大。
DT模型是以极小化决策树的整体损失函数或代价函数，可定义如下：
\[C_\alpha(T) = C(T) + \alpha * |T_(leaf)| \]
- 前半部分表示对训练数据的拟合程度。
- 后半部分表现模型复杂程度。
- 用于对树规模的惩罚程度，取值为0是表示只考虑模型与训练数据的拟合程度，不考虑模型复杂度，取值正无穷时则刚好相反。
决策树的生成算法
- 如何切分特征
- 根节点的选择应该用哪一个特征？该如何切分？
- 根节点的目标是通过一种衡量标准，来计算通过不同特征进行分支选择后的分类的情况，找出最好的那个作为根节点，以此类推。
- 类别：每一种算法不同，衡量标准也不相同。
- **ID3算法：信息增益 **
- C4.5：信息增益率（解决了ID3的问题，考虑自身的熵）
- CART：使用GINI系数作为衡量标准
- GINI系数：
\[G_{ini}(p) = \sum_{k=1}^k{p_k(1-p_k)} = 1-\sum_{k=1}^Kp_k^2 \]
ID3算法
ID3算法的核心是在决策树各个节点上运用信息增益准则选择特征，递归构建决策树。
算法描述：
\[输入：训练数据集D，特征集A，阈值\varepsilon;\\ 输出：决策树T.\\ (1) 若D中所有实例属于同一个类C_K,则T为单节点树，并将C_K作为该节点的类标记，返回T；\\ (2) 若A=\phi,则T为单节点树，并将D中实例数最大的类C_K作为该节点的类标记，返回T.\\ (3) 否则，计算A中特征对D的信息增益，选择信息增益最大的特征A_g;\\ (4) 如果A_g的信息增益小于阈值\varepsilon,则置T为单节点树，并将D中实例中最大的类作为该节点的类标记，返回T；\\ (5) 否则，对A_g每一个可能值a_i,依A_g=a_i将D分割为若干个非空子集D_i,将D_i中实例数最大的类为该节点的标记，\\构建子节点，由结点以及子节点构成树T，返回T;\\ (6) 对第i个子节点，以D_i为训练集，以A-\{A_g\}为特征集，递归地调用(1)~(5),得到子树T_i,返回T。 \]
C4.5算法
C4.5算法和ID3算法相似，并对ID3算法做了改进。其核心是采用信息增益比来选取特征。
\[输入：训练数据集D，特征集A，阈值\varepsilon;\\ 输出：决策树T.\\ (1) 若D中所有实例属于同一个类C_K,则T为单节点树，并将C_K作为该节点的类标记，返回T；\\ (2) 若A=\phi,则T为单节点树，并将D中实例数最大的类C_K作为该节点的类标记，返回T.\\ (3) 否则，计算A中特征对D的信息增益比，选择信息增益比最大的特征A_g;\\ (4) 如果A_g的信息增益小于阈值\varepsilon,则置T为单节点树，并将D中实例中最大的类作为该节点的类标记，返回T；\\ (5) 否则，对A_g每一个可能值a_i,依A_g=a_i将D分割为若干个非空子集D_i,将D_i中实例数最大的类为该节点的标记，\\构建子节点，由结点以及子节点构成树T，返回T;\\ (6) 对第i个子节点，以D_i为训练集，以A-\{A_g\}为特征集，递归地调用(1)~(5),得到子树T_i,返回T。 \]
CART算法
CART算法包含两步：决策树生成和决策树剪枝。
CART生成
决策树生成就是递归构建二叉决策树的过程。对回归树使用平方误差最小化准则，对分类书用基尼指数(GINI INDEX)组笑话准则，进行特征选择，生成二叉树。
- 回归树的生成
通常使用最小二乘回归树生成算法进行生成回归树。
\[输入：训练数据集D;\\ 输出：回归树f(x).\\ 在训练集所在的输入空间中，递归地将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建决策树：\\ (1) 选择最优的切分变量j与切分点s，求解 \\ min_{j,s}[min_{c_j}\sum_{x_j\in R_1(j,s)}(y_i-c_i)^2+min_{c_j}\sum_{x_j\in R_2(j,s)}(y_i-c_i)^2]，遍历j，对j的切分点s，选择最小的(j,s);\\ (2) 用选定的对(j,s)划分区域并决定相应的输出值:\\ R_1(j,s)=\{x|s(j) \leq s\},R_2(j,s)=\{x|s(j) > s\} \hat{c_m}=\frac{1}{N_m}\sum{y_i},x\in R_m,m=1,2 \\ (3) 继续对两个子区域调用步骤(1),(2),直至满足条件；\\ (4)将输入空间划分成M个区域R_1,R_2,R_3...R_M,生成决策树。\\ f(x)=\sum^M_{m=1}\hat{c_m}I(x\in R_m) \] - 分类树的生成
分类树用基尼指数选择最优特征，同时决定该特征的最优二值切分点。
CART生成算法描述：
\[输入：训练数据集D,停止计算的条件;\\ 输出：CART决策树.\\ 根据训练数据集，从根结点开始，递归地对每一个结点进行如下操作，构建决策树：\\ (1)设结点地训练集为D，计算现有特征对该数据集的基尼指数。此时，对每一个特征A，对可能取得每一个值a，\\ 根据样本点对A=a得测试为"是"或"否"将D分割成D_1和D_2,计算A=a得基尼指数。\\ (2)在所有可能得特征A和可能得切分点a中，选择最小的基尼指数得特征以及对应的切分点。\\ 由此，从现结点生成两个子结点，将训练集依特征分配到两个子结点中去。\\ (3)对两个子节点递归调用(1),(2)，直至满足条件；\\ (4) 生成CART决策树。 \]
