图上的随机游走python 图随机游走模型问题

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mob64ca1403528a 2023-12-13 20:20:37

文章标签 图上的随机游走python 复杂度递推高斯消元 文章分类 Python 后端开发

听说这东西有必要学习一下？

本文内容全部参考《浅谈图模型上的随机游走问题》by 王修涵。

updated on 12.25 终于把一般图做法给学习了。

定义

给定一张有向简单图 $G = (V,E)(V = \{v_1,v_2,\cdots,v_{|V|}\} )$和起点 $v_s\in V$ ，终点 $v_t \in V$，每条边$e = (v_x,v_y)$有正权值$w_e$，满足 ∀$v_x \in V-\{v_t\},\sum_{(v_x,v_y)\in E} w(v_x,v_y) = 1$，且对于任意点 $v_x$ 都存在一条从 $v_x$ 出发到达 $v_t$ 的路径。有一枚棋子从起点出发，每秒从当前所在点 $v_x$ 以 $w(v_x,v_y)$ 的概率选择出边 $(v_x,v_y)$ 并走向 $v_y$

思想

一般做法都是DP，根据图和题目的性质设计不同的状态来解决问题

网格图

例题（CF963E Circles of Waiting）：有一枚棋子起始被放在平面直角坐标系的$(0,0)$点。每秒棋子会随机移动。假设它当前在$(x,y)$，它下一秒有$p_1$的概率移动到$(x−1,y)$，$p_2$的概率移动到$(x,y−1)$，$p_3$的概率移动到$(x+1,y)$，$p_4$ 的概率移动到$(x,y+ 1)$。保证 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_图上的随机游走python$ 。求期望经过多少时间它会移动到一个离原点的欧几里得距离大于$R$ 的位置。 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_复杂度_02$ ，答案对$10^9 + 7$取模。

朴素做法

设$f(i,j)$表示$(i,j)$移动到外面需要的期望时间，那么有

$图上的随机游走python 图随机游走模型问题_高斯消元_03$

直接高斯消元，复杂度 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_04$ 。

直接消元法

把点从左到右、从上到下标号，把方程也排个序。

考虑高斯消元的过程，发现消到$(i,j)$时只有 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_高斯消元_05$ 和 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_06$ 的方程有$f(i,j)$这个变量，所以只需要消$O(R)$个方程。

所以最终复杂度是$O(R^4)$。

主元法

把每一行第一个格子的$f$作为主元，从左往右推过去，得到最右边关于主元的表达式。

当欧几里得距离大于$R$时即可得到方程： $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_高斯消元_07$ ，共$O(R)$个方程，直接高斯消元即可。

复杂度$O(R^3)$。

总结

设总点数为$n$。

从复杂度上看，直接消元法复杂度$O(n^2)$，主元法 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_08$

精度上，据说直接消元法更优？

适用性来看：

网格图中存在障碍/边权为0时主元法会出现无法向右推的情况，需要再设一个主元，复杂度增加，但直接消元法复杂度不变。
转移方程为$f(i,j)=p_1f(i,j+1)+p_2f(i+1,j)+p_3(pre(i,j))+1$，其中$pre(i,j)=(x,y),x<i,y<j$给定时直接消元法复杂度分析就是假的了，而主元法仍然可以使用。
求邻接矩阵行列式（别问我这东西有啥用）时只能直接消元法。

稀疏图

例题就是定义里的题， $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_09$ ，答案模随机质数。

考虑答案就是 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_高斯消元_10$ ，可以求出走$i$步还没有走到终点的概率，然后求和。

设$f_{i,u}$表示走了$i$步，到了$u$，还没有走到过终点的概率，那么有转移方程：

$图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_11$

显然，转移方程和$i$无关，所以可以写成矩阵的形式： $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_12$ 。

考虑$M$的特征多项式 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_高斯消元_13$ 的次数不超过$n$，且$p(M)=0$，所以$p$就是$M^i$的线性递推式。

$图上的随机游走python 图随机游走模型问题_高斯消元_14$ 左乘一个$f_0$，线性递推式不变，所以$f$的线性递推式长度也不超过$n$。

所以 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_图上的随机游走python_15$ 的递推式长度也是$O(n)$的，可以预处理出前$2n$项，然后BM算法求出递推式。设递推式的生成函数为 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_16$ 的生成函数为$A(x)$。

那么可以得到： $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_图上的随机游走python_17$ ，其中$A_0$由前$n$项决定。

于是可以得到 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_18$ ，且易得答案就是$x=1$时$A(x)$的值，可以求出。由于模的是随机质数，可以假设分母不为0。

一般图

鸽子终于更新了。

给定一张简单强连通有向图，随机游走，对于所有起点终点求期望步数。 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_高斯消元_19$

5.1 分析和转化

无脑设 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_20$ ，设 $f_{i,j}$ 为答案。当 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_21$

而当 $i=j$ 时这会算出从 $i$ 开始走，第一次回到 $i$ 的期望步数。设这个是 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_复杂度_22$

然后写成矩阵的形式。设 $J$ 为 $n$ 阶全 1 矩阵， $I$ 为 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_复杂度_23$

如果能求出 $G$

\[(I-P)F=J-G \]

（在这里就已经可以注意到，由于 $P$ 每一行的和是 $1$ ，所以用 $I$ 去减它会使得一行的和是 $0$

5.2 $G$

考虑先求出一个稳态分布 $\pi$ ，满足 $\sum_i \pi_i=1$ ，且 $\pi P=\pi$ 。即如果当前在每个点的概率是 $\pi_i$

由于 $I-P$ 不满秩，加上 $\sum_i \pi_i=1$ 的限制后仍然可以保证能够求出 $\pi$

然后发现一个神奇的事情：对于所有 $i$ ，有 $\pi_ig_i=1$

证明：

由于 $G=PF+J-F$ ，两边左乘 $\pi$ 得到 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_24$ 。而 $\pi P=\pi$ ，所以 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_递推_25$ ，即 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_高斯消元_26$

（有没有什么比较直觉的方法可以得到这个式子，或者得到这个思路啊？）

于是在 $O(n^3)$ 的时间内得到的 $G$

5.3 求解原问题

前面已经说了， $I-P$ 并不满秩，所以无法直接求解 $(I-P)F=J-G$ 。下面分析一下 $I-P$

其实也没有什么好分析的。给 $I-P$ 的第 $i$ 行乘上 $deg_i$ （矩阵的秩不改变），那么就直接得到了出度矩阵减邻接矩阵。由矩阵树定理可知，这个矩阵删掉第 $i$ 行第 $i$ 列之后的行列式就是以 $i$ 为根的有向生成树个数。由于图是强连通的，所以这样的树一定存在，所以删掉一行一列之后矩阵满秩。再把这行列加回来，得到 $\text{rank} (I-P)=n-1$

现在我们要解方程 $AX=B$ ，其中 $图上的随机游走python 图随机游走模型问题_复杂度_27$ 。 $A,B$ 一起做高斯消元，最终可以使得 $A$ 变成一个前 $n-1$ 行只有主对角线为 1 、第 $n$ 列有值，第 $n$ 行全 0 的矩阵 $A'$