[2018年最新整理]小波变换基础以及haar小波
图像处理与识别 小波变换及应用 小波发展 Haar小波 小波去噪 展望 小波发展 小波分析(Wavelets Analysis)是20世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种新的数学分析方法，它既具有丰富的数学理论意义，又具有广泛的工程应用价值。广泛应用在信号处理、图像处理、语音分析以及其他非线性科学领域. 小波分析是对傅立叶分析(Fourier Analysis)理论最辉煌的继承、总结和重大突破. 小波与傅里叶的区别 傅立叶分析中，以单个变量(时间或频率)的函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分析. 小波分析中，利用联合时间—尺度函数分析信号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进行时频域分析. 傅里叶变换 这幅图可形象的表示傅里叶变换的不足之处。 短时傅里叶变换(STFT) 如果我们还想知道各个成分出现的时间 ？ 一个简单可行的方法就是——加窗。把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。 那么问题又来了？ 我们选择多大的窗口合适呢？ 窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 短时傅立叶变换(STFT)的核心就是加窗，然后滑动求得联合时频分布.当窗口函数g(t)确定后，STFT的时—频窗口就固定不变，与频率无关. STFT是一种单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选定窗函数g(t) .我们不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。对于非稳信号，信号变化剧烈时，主频是高频，要求有较高的时间分辨率( 要小)，信号变化平缓时，主频是低频，要求有较高的频率分辨率(要小). STFT不能同时兼顾两者. 三角函数sin(nωt)构成一组完备正交基，所以信号f(t)可以用三角函数表示—傅里叶变换. Fourier_series_and_transform (1).gif 小波变换 如果e1(t), e2(t), e3(t), ……, en(t)构成一组完备正交基, 则任何信号f(t)可以表示成： 从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量?τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率(反比)，平移量?τ就对应于时间。 某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积分也就是计算信号与基函数的相似程度。 连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频窗口的形状变化，而窗口面积固定不变. DWT(离散小波变换) 多分辨率分析( MRA ) : 把全空间L2(R)按照分辨率(2j)先分解成一系列嵌套的闭子空间序列(尺度空间) {Vj, j∈Z}.如果满足下面五条，则称集合{Vj，j∈Z}为L2(R)的一个多分辨分析(MRA ). 由多分辨率分析的定义，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下张成的，由于{Vj}空间相互包含，不具有正交性。 下面讨论如何构造L2(R)的正交小波ψ(t) 。 Haar分解 Haar重构 小波去噪 一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号. 根据噪声与信号在不同尺度(不同频率)上的小波谱具有不同表现的特点，将噪声小波谱占主导地位的那些尺度上的噪声小波分量去掉，这样，保留下来的小波谱基本上就是原信号的小波谱，然后利用小波重构算法恢复原信号. 小波去噪可以分为三个步骤: 信号分解：选择一个小波基函数并确定分解的层次，对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中. 量化处理：对小波分解每一层高频系数，选择一个门限阈值进行阈值量化处理. 信号重构：根据小波分解的低频系数和经量化处理后的高频系数，用小波重构算法进行信号的小波重构. 展望 小波分析与神经网络都是新一代计算智能信息处理技术的主要组成部分。小波变换是一个时间域和频率域的局部变换，利用对小波函数的伸缩平移运算对信号进行不同尺度下的分析，可以有效地从信号中提取有用信息。它克服了传统傅里叶变换不能同时进行时频分析的缺陷，因而成为了非线性科学的前沿技术之一。人工神经网络是通过对人脑神经网络的合理抽象而形成的理论化模型，它可以依靠自身对环境的自学习能力获取知识，并利用神经元之间的连接权值存储获取的知识。小波神经网络(简称小波网络)是小波分析与神经网络相结合的产物，它可以一方面保持神经网络的多输入并行处理能力
