小波变换
- 傅里叶变换（Fourier Transform，FFT）
- 短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform,STFT）
- 小波变换（Wavelet transform，WT）
傅里叶变换和小波变换之间的关系
1. 傅里叶变换
2. 短时傅里叶变换
3. 小波变换
傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形象。下面我就按照傅里叶—短时傅里叶变换—小波变换，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。（假装很明白）
傅里叶变换（Fourier Transform，FFT）
关于傅里叶变换的概念就不说了（baidu），傅里叶变换最广泛的应用是信号分析，分析信号的频谱。
缺点：“对非平稳信号，具有局限性”
平稳和非平稳信号：
图1、2 是频率始终不变的平稳信号，FFT后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率（10Hz、25Hz、50Hz、100Hz）成分；图3、4 则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含相同频率的四个成分。
平稳信号和非平稳信号同样做FFT变换后，这四个在时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换对处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样，然而平稳信号大多是人为制造的，生物界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在生物医学信号分析等领域中，基本看不到单纯傅里叶变换这样的方法。
短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform,STFT）
最简单可行的方法就是——加窗。“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再对每个小过程进行傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。” 即短时傅里叶变换。
来咯来咯，最简单粗暴的图（chuangkou）
但是窗口选择的宽窄关系依然对其有影响
窗口太窄，窗口内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差 即（频域分辨率差）；
窗口太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低 即（时域分辨率差）。
一句很有逼格的话来形容：鱼和熊掌不可兼得
所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
小波变换（Wavelet transform，WT）
如果让窗口大小变起来，多做几次STFT可以吗？！yes，没错，小波变换就是这样的思路。
但事实上小波并不是这么做的，如果小波变换“只是根据算法，加不等长的窗，对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。至于为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重，STFT做不到正交化，这也是它的一大缺陷。
于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间。
【解释】
傅里叶变换：傅里叶变换可以得到信号各个频率成分，即：傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数：
这个基函数会伸缩、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。对应高频，缩得窄；对应低频，伸得宽。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。
这两种尺度能乘出一个大的值（相关度高），所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰。这是粗浅意义上的傅里叶变换原理。
如前边所说，小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。
why叫小波呢，因为…是很小的波（简单皮一下）
由公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。
当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。当在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。（有了小波，再也不怕非稳定信号啦！时 and 频兼得）
傅里叶变换只能得到一个频谱，小波变换却可以得到一个时频谱。
对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号：
对于突变信号，小波变换可以解决吉布斯效应：
以上是小波变换的简单描述，如有不妥之处，请求指正！
