迄今为止讨论的形态学概念只涉及一幅图像和一个或多个结构元。本节讨论一种强大的形态学变换，即形态学重建。形态学重建涉及两幅图像和一个结构元：一幅图像是标记，我们用 F 来表示，它包含重建的起点；另一幅图像是模板，我们用 G来表示，它用来约束重建；结构元用于定义连通性。对于二维应用，连通性通常定义为 8 连通，它由元素都是1的一个3×3结构元暗示。
1 二值图像形态学重建
1.1 测地膨胀和腐蚀
形态学重建的核心是测地膨胀和测地腐蚀的概念。令F表示标记图像，令G表示模板图像。在讨论中，我们假设两幅图像都是二值图像，且F包含于G。标记图像相对于模板大小为1的测地膨胀定义为
F相对于G的大小为n的测地膨胀定义为：
式中，n≥1是整数，D0=F。在这个递归公式中，每一步都是膨胀后取交集。交集运算可以保证模板G限制标记F的生长（膨胀）。下图是大小为1的测地膨胀。
标记F相对于模板G的大小为1的测地腐蚀定义为
标记F相对于模板G的大小为n的测地腐蚀定义为
式中，n≥1是整数，E0=F。在这个递归公式中，每一步都是腐蚀后取并集，以保证图像的测地腐蚀仍然大于模板图像。下图是大小为1的测地腐蚀。
简单地说，测地膨胀和测地腐蚀就是有条件的膨胀和腐蚀。膨胀或腐蚀结果与模板图像进行交集或并集运算，从而对膨胀或腐蚀操作施加了特定的约束。
1.2 腐蚀和膨胀的形态学重建
根据前面的概念，标记图像F相对于模板图像G的膨胀形态学重建，定义为F相对于G的测地膨胀，反复迭代至稳定状态为止。类似地，标记图像F相对于模板图像G的腐蚀形态学重建，定义为F相对于G的测地腐蚀，反复迭代至稳定状态为止。
1.3 应用实例
形态学重建有着很宽的实际应用范围，每种应用都由选择的标记图像和模板图像、所用的结构元及前面定义的形态学运算的组合决定。下面的几个例子说明了这些概念的应用。
1.3.1 重建开运算
在形态学开运算中，腐蚀会删除小目标，而膨胀会试图恢复保留的目标的形状。恢复的精度取决于目标的形状和所用结构元的相似性。重建开运算能够精确地恢复腐蚀后所保留目标的形状。图像F的大小为n的重建开运算定义为，F的大小为n的腐蚀相对于F的膨胀重建，即
重建开运算采用F的腐蚀结果作为膨胀重建的标记。
示例：重建开运算提取竖直长笔画的字符
Mat src = imread("./13.png", 0);
Mat erodeImg, dilateImg;
// 构造标记图像: 采用图像的腐蚀结果作为膨胀重建的标记
Mat element1 = getStructuringElement(MORPH_RECT, Size(1, 15));
morphologyEx(src, erodeImg, MORPH_ERODE, element1);
// 形态学重建
Mat dilateImg_pre = erodeImg.clone();
Mat tmp = Mat::zeros(src.size(), CV_8UC1);
Mat cmp = Mat::zeros(src.size(), CV_8UC1);
Mat element2 = getStructuringElement(MORPH_RECT, Size(3, 3));
int n = -1;
while (n != src.rows*src.cols) {
morphologyEx(dilateImg_pre, dilateImg, MORPH_DILATE, element2);
bitwise_and(src, dilateImg, dilateImg);
compare(dilateImg_pre, dilateImg, cmp, CMP_EQ);
n = countNonZero(cmp);
dilateImg_pre = dilateImg.clone();
}
1.3.2 填充孔洞的自动算法
令I(x,y)代表一幅二值图像。标记图像F为
于是，
是一幅等于I且所有孔洞被填充的二值图像。
示例：基于重建的孔洞填充
（1）构造标记图像 F 作为膨胀重建的标记，标记图像的边框位置为1-I(x,y)，其它位置均为 0；
（2）使用十字形结构元（ MORPH_CROSS），对标记图像 F 进行膨胀恢复；
（3）用原图像的补集作为模板来约束重建，与膨胀恢复图像进行逻辑与；
（4）重复图像 F 的重构运算，直到达到稳定收敛状态；
（5）对收敛的标记图像 F 求补，得到孔洞填充的重建结果。
Mat src = imread("./14.png", 0);
Mat thrImg, dilateImg, dst;
threshold(src, thrImg, 90, 255, THRESH_BINARY_INV);
Mat F = thrImg.clone();
F({ 1,1,F.cols - 2,F.rows - 2 }).setTo(0);
Mat F_pre = F.clone();
Mat element = getStructuringElement(MORPH_CROSS, Size(3, 3));
Mat cmp = Mat::zeros(src.size(), CV_8UC1);
//判断是否达到稳定收敛状态
int n = -1;
while (n != src.cols*src.rows) {
morphologyEx(F, dilateImg, MORPH_DILATE, element); // 膨胀重建
bitwise_and(thrImg, dilateImg, F); // 约束重建
compare(F, F_pre, cmp, CMP_EQ); // F(n) = F(n - 1) ?
n = countNonZero(cmp);
F_pre = F.clone();
}
bitwise_not(dilateImg, dst); //对收敛的F求补得到孔洞填充的重建结果
1.3.3 边界清除
检测接触边界的目标的算法是一个很有用的功能，因为（1）它可以遮蔽图像，以便为进一步处理保留完整的目标，或者（2）它可以作为视野中出现的部分目标的一个信号。接下来，我们将开发一个基于形态学重建的边界清除程序。在这一应用中，我们使用原图像作为模板，并使用下面的标记图像：
边界清除算法首先计算形态学重建（简单的提取接触边界的目标），然后计算下面的差：
得到一幅其中目标不接触边界的图像X。
示例：清除与边界相连的圈
（1）构造标记图像F作为膨胀重建的标记，标记图像的边框位置为I，其它位置均为0；
（2）使用十字形结构元（MORPH_CROSS），对标记图像 F 进行膨胀恢复；
（3）用原图像作为模板来约束重建，与膨胀恢复图像进行逻辑与；
（4）重复图像 F 的重构运算，直到达到稳定收敛状态；
（5）原图减去F，得到边界清除的重建结果。
Mat src = imread("./2.png", 0);
Mat thrImg, dilateImg, dst;
threshold(src, thrImg, 90, 255, THRESH_BINARY);
Mat F = thrImg.clone();
F({ 1,1,F.cols - 2,F.rows - 2 }).setTo(0);
Mat F_pre = F.clone();
Mat element = getStructuringElement(MORPH_CROSS, Size(3, 3));
Mat cmp = Mat::zeros(src.size(), CV_8UC1);
//判断是否达到稳定收敛状态
int n = -1;
while (n != src.cols * src.rows) {
morphologyEx(F, dilateImg, MORPH_DILATE, element); // 膨胀重建
bitwise_and(thrImg, dilateImg, F); // 约束重建
compare(F, F_pre, cmp, CMP_EQ); // F(n) = F(n - 1) ?
n = countNonZero(cmp);
F_pre = F.clone();
}
dst = thrImg - dilateImg;
2 灰度级形态学重建
2.1 测地膨胀和腐蚀
假设f和g是相同大小的灰度图像，且f≤g，即f在图像中任一点的灰度比g在这一点的灰度小。f相对于g的大小为1的测地膨胀定义为
其中，^表示逐点最小算子，b是一个合适的结构元。我们看到，大小为1的测地膨胀的获得方式如下：首先计算b对f的膨胀，然后选择(x,y)处膨胀结果和g之间的最小者。f相对于g的大小为n的测地膨胀定义为
类似的，f相当于g的大小为1的测地腐蚀定义为
其中，v表示逐点最大算子。f相对于g的大小为n的测地腐蚀定义为
灰度图像重建开运算：
先腐蚀输入图像，然后将腐蚀后的图像作为标记图像，将图像本身作为模板，进行膨胀，反复迭代至稳定。
重建闭运算：
先膨胀再腐蚀，最后求图像的补集。
2.2 应用实例
示例：基于灰度形态学的复杂背景图像重建
#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;
//重建开运算
void openRestruct(Mat& src, Size erode_size, Size dilate_size, Mat& dst) {
Mat erodeImg;
Mat element = getStructuringElement(MORPH_RECT, erode_size);
morphologyEx(src, erodeImg, MORPH_ERODE, element);
Mat erodeImg_pre = erodeImg.clone();
Mat temp = erodeImg.clone();
Mat cmp = Mat::zeros(src.size(), CV_8UC1);
Mat element1 = getStructuringElement(MORPH_RECT, dilate_size);
int n = -1;
while (n != src.cols * src.rows) {
morphologyEx(erodeImg_pre, temp, MORPH_DILATE, element1);
bitwise_and(temp, src, temp);
compare(temp, erodeImg_pre, cmp, 0);
n = countNonZero(cmp);
erodeImg_pre = temp.clone();
}
dst = temp;
}
// 重建膨胀
void dilateRestruct(Mat& mark, Mat& mould, Size dilate_size, Mat& dst) {
Mat dilateImg_pre = mark.clone();
Mat temp = mark.clone();
Mat cmp = Mat::zeros(mould.size(), CV_8UC1);
Mat element = getStructuringElement(MORPH_RECT, dilate_size);
int n = -1;
while (n != mould.cols * mould.rows) {
morphologyEx(dilateImg_pre, temp, MORPH_DILATE, element);
bitwise_and(temp, mould, temp);
compare(temp, dilateImg_pre, cmp, 0);
n = countNonZero(cmp);
dilateImg_pre = temp.clone();
}
dst = temp;
}
int main() {
Mat src = imread("./1.tif", 0);
Mat R1;
//（1）重建开运算，抑制按键顶部的水平反射。
openRestruct(src, Size(71, 1), Size(3, 3), R1);
// (2) 顶帽变换
Mat tophatImg = src - R1;
// (3) 重建开运算，删除按键边缘的垂直反射
openRestruct(tophatImg, Size(11, 1), Size(3, 3), R1);
// (4)对重建图像进行水平膨胀，膨胀后的字符与被抑制字符所占的区域重叠。
Mat dilateImg;
Mat element = getStructuringElement(MORPH_RECT, Size(11,1));
morphologyEx(R1, dilateImg, MORPH_DILATE, element);
// (5) 对水平膨胀图像和顶帽运算图像按位与，即逐点求最小值，复原被抑制的字符
Mat andImg;
bitwise_and(dilateImg, tophatImg, andImg);
// (6) 以按位与图像作为标记，用重建顶帽图像作模板，进行膨胀重建，得到最终的形态学重建图像。
Mat dst;
dilateRestruct(andImg, tophatImg, Size(3, 3), dst);
return 0;
}
(和参考文献一样，按照书上的步骤效果一般）
参考：
1. 冈萨雷斯《数字图像处理（第四版）》Chapter 9 （所有图片可在链接中下载）
2. 《数字图像处理(第四版)》阅读随笔 ch9（形态学重建、灰度级形态学）
3. 【youcans 的 OpenCV 例程200篇】131. 形态学重建之竖线字符提取
4. 【youcans 的 OpenCV 例程200篇】146. 基于灰度形态学的复杂背景图像重建
