分布函数参数拟合python 分布函数的拟合检验

对来自总体$X$的样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$，及给定的显著水平$\alpha$检验假设$H_0:X\text{的分布函数为}F(x)(H_1:X\text{的分布函数不是}F(x)).$其中，$F(x)$是已知分布类型的分布函数（或分布律），含有$r$个未知参数。为此，需要将$(-\infty,+\infty)$划分成$k\leq n$个区间$A_1,A_2,\cdots,A_k$，统计样本中落入每个区间$A_i$中的频数$f_i$并按假设中的分布函数$F(x)$（用未知参数的最大似然统计量值替代对应参数）计算概率$p_i=P(X\in A_i)$。利用这些数据，调用scipy.stats包中的函数

$\text{chisquare(f\_obs, f\_exp, ddof=0)}$

即可算得检验假设$H_0$的p值。该函数的参数f_obs表示上述样本频数序列$\{f_1,f_2,\cdots,f_k\}$，f_exp表示假设总体概率序列$\{np_1,np_2,\cdots,np_k\}$，ddof表示假设总体所含的未知参数个数$r$，缺省值为0。该函数的返回值包括两个数据：表示检验统计量值$\chi^2=\sum\limits_{i=1}^k\frac{(f_i-np_i)^2}{np_i}$的chisq，和表示检验p值$S(\chi^2)=1-F(\chi^2)$的p，其中$F(x)$和$S(x)$分别为$\chi^2(k-1-r)$分布的分布函数和残存函数。

例1在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的$\alpha$粒子数$X$，共观察了100次，得结果如下表：

$i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	$\geq$
$f_i$	1	5	16	17	26	11	9	9	2	1	2	1	0
$A_i$	$A_0$	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$	$A_6$	$A_7$	$A_8$	$A_9$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$

其中，$f_i$是观察到有$i$个$\alpha$粒子的次数，从理论上考虑知$X$应服从泊松分布$\pi(\lambda)$，问此判断是否符合实际（取$\alpha=0.05$）？
解： 下列代码完成本例中假设$H_0:X$~$\pi(\lambda)$的检验。

from scipy.stats import poisson, chisquare  #导入poisson, chisquare
import numpy as np                          #导入numpy
n=100                                       #样本容量
alpha=0.05                                  #显著水平
f=np.array([1,5,16,17,26,11,9,9,2,1,2,1,0]) #样本数据频数
k=f.size                                    #区间个数
r=1                                         #总体未知参数个数
x_bar=(np.arange(k)*f).sum()/n              #总体均值的最大似然估计值
p=[poisson.pmf(i,x_bar) for i in range(k-1)]#各区间内概率
p.append(1-sum(p))
p=np.array(p)
_, pv=chisquare(f, p*n, r)                  #检验p值
print('H0 is %s'%(pv>=alpha))

程序的第3~5行按题面设置各项数据。第6行计算区间个数k，第7行设置未知参数个数r，第8行计算假设中总体所含未知参数$\lambda$的最大似然估计值x_bar。第9行计算概率$p_i=\frac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda},i=0,1,\cdots,k-2$，第10行计算$p_{k-1}=1-\sum\limits_{i=0}^{k-2}p_i$，第11行将算得的$p_0,p_1,\cdots,p_{k-1}$构造成数组p。第12行调用函数chisquare，传递参数f（各区间内样本数据频数），n*p（序列$np_0,np_1,\cdots,np_{k-1}$）和r（未知参数个数），计算假设$H_0:X$~$\pi(\lambda)$的检验p值（由于此处我们并不需要检验统计量值，故用下划线将chisq屏蔽）。运行程序，输出

H0 is True.

表示接受假设$H_0:X$~$\pi(\lambda)$。
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