一 .数学概念
1 .特征值与特征向量:
设A为n阶方阵,若数 和n维的非零列向量x,使关系式Ax=λx成立,则称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应与特征值 的特征向量。
2 .特征多项式
3 .特征方程
二 .原理,公式和法则
1 .求特征值与特征向量的方法:
(1) (实用于抽象矩阵);
(2) (实用于具体矩阵);
(3) (主要用于求特征向量)。
2 .主要公式
设 是A的特征值,x是A的对应于特征值 所对应的特征向量,则有
注: 特征值与特征向量指A可逆时。
3 .特征值与特征向量的性质
设 是A的n个特征值,则有
1)
2)
3) A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。
4) A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。
5) 方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。
三 .重点、难点分析
本节的重点是理解特征值也特征向量的概念,求A的特征值与特征向量,掌握求特征值与特征向量的各种方法。难点是方阵A不同的特征值所对应的特征向量线性无关的证明;求方阵A特征值与特征向量的各种方法。
四 .典型例题
例1 .求方阵
的特征值和特征向量。
解: A的特征多项式为
,
所以A的特征值为 。
当 时,解方程 (A-2E)x=0。由
,
得基础解系
,
所以 是对应于 的全部特征向量。
当 ,解方程(A-E)x=0。由
得基础解系
,
所以 是对应于 的全部特征向量。
例2 .求矩阵
的特征值和特征向量。
解
所以A的特征值为 。
当 时,解方程(A+E)x=0。由
,
得基础解系
,
所以 是对应于 的全部特征向量。
当 时,解方程(A-2E)x=0。由
,
得基础解系
,
所以对应于 的全部特征向量为
。
以上例1、例2都有二重特征值,而例1中的二重特征值对应两个线性相关的特征向量,例2中二重特征值对应两个线性无的特征向量,这对于下面将要学习的方阵对角化是分重要的,希望引起同学们的注意。
例3 .设3阶方阵A满足 ,且矩阵A的秩为2,求A的特征值。
解:设 是A的特征值,x是A的关于 所对应的特征向量,则有 ,在 是两端右乘x,得
即
即
由于 ,所以
得
又A的秩为2,得A的特征值为
例3是一个抽象矩阵求特征值的问题,由所给的已知条件求出 ,再根据约束条件(例A的秩等于2)确定A的特征值。