上一篇文章35. 去卷积：怎么把模糊的图像变清晰？吸引了很多朋友的关注。在这篇文章里面，我给大家讲了一种叫做“非盲去卷积”的方法，当指定了PSF(下图中的c)，和观测到的模糊图像（下图中的b)，我们可以恢复出清晰的图像（下图中的x)。
很多人都觉得去卷积大法好啊，真的可以把渣画质变清晰。可就是需要提前知道PSF，这可就难了。确实，很多情况下提前测定PSF是根本不可能的，有可能你手上只拿到了一张很模糊的照片b，不知道c，想要恢复出x，这时候应该怎么办呢？
事实上，这也是可以办到的，这就是所谓的“盲去卷积”(Blind Deconvolution)，今天我就给大家介绍这种技术。
我们先来看两组盲去卷积的结果，给大家一些直观的感受：
上面的结果来自于盲去卷积领域非常经典而基础的文章：
Fergus et al., “Removing camera shake from a single image,” SIGGRAPH 2006.
今天我主要就为你介绍这篇文章的思想
一、盲去卷积的基本思想
1.1 利用先验信息
小明是第一次用单反的摄影小白，他刚刚很兴奋的端起相机拍了一张照片：
https://www.zhihu.com/video/1208905929737273344
Oops！手没拿稳，拍出了一张超模糊的照片：
我们看看小明的相机在拍照瞬间的运动轨迹
很显然，他这样是拍不出来好片子的，我们来简化一下他这张照片的生成过程：
上图中的模糊核(PSF）是由于小明端起相机时的随机抖动导致的，我们无法提前测定，那么怎么样才能把清晰图像恢复出来呢？ 这真是一个超难的问题。
这就像你知道了11这个数是由2个数的乘积构成的，要让你猜出是哪两个数一样困难：
一张模糊的图像，也有可能有多种生成模式，只有最下面这种才是我们需要的，怎么才能得到它呢？
很显然，我们需要利用一些先验信息。有两个关键的先验信息可以帮助我们
1 - 图像的梯度分布
清晰的自然图像的梯度符合一种叫做"Heavy-Tail"的分布形态。直观上讲，一张清晰图像里面有很多平滑的区域且噪声较低，所以梯度接近0的像素还是占大多数。但是由于图像清晰，所以物体的边界比较明显，所以还是有很多像素的梯度较大。因此这种梯度的分布大概长这个样子（梯度直方图的纵坐标是Log化的密度）：
但是模糊的图像的边缘被糊掉了，所以更多的像素的梯度趋于0，因此其梯度直方图就会变化：
所以我们想要寻找的是符合上面重尾分布的图像，而不是其他随随便便的图像
2 - 模糊核的形态
我们这里展示的是相机的运动导致的模糊，那么可以认为模糊核是稀疏的，有连续的轨迹，并且模糊核值都是非负数。所以我们重建出来的模糊核也不是随随便便的，它必须符合上述这些特点才是一个合格的运动模糊核。
3 - 噪声
相机总是有噪声的，为了简化问题，我们可以假设噪声是均值为0的高斯噪声
于是，我们就有了几种信息用于重建清晰的图像
1.2 问题的数学建模
已知模糊图像P，未知图像为L，未知的卷积核为K。一个基本的想法是把问题看做是求最大后验概率的问题：
其中K和L满足一定的先验条件的约束。我们所需的就是把后验概率公式表达出来。为了让这篇文章能够比较容易看懂，我把相关的细节列到文章的后面，这样你可以更连贯的阅读这篇文章。
1.3 问题的求解
作者尝试了用标准的MAP求解方法来求解出K和L，但最终效果却很差
作者对此的解释是MAP目标函数会尝试让所有像素的梯度都最小化，而实际的自然图像中包含有大量高梯度的区域。
而在2009年的下面这篇著名论文中，作者Levin教授则提出了更深入的见解。
Levin et al., “Understanding and evaluating blind deconvolution algorithms,” CVPR 2009 and PAMI 2011
Levin教授认为用MAP目标函数同时求解K和L肯定不好，有如下的原因：
- 错误的单位卷积核比起正确的稀疏卷积核的可能性更高(Levin的论文中有证明）
2. 上述MAP目标函数的变量个数具有高度的非对称性，比如对于这幅毕加索照片：
可见已知量的个数总是小于未知量的个数 #P < #L + #K
以上两个原因就会导致用这种同时估计K和L的目标函数来做MAP总是无法得到好的结果。那有没有更好的方法呢？
Levin认为，更好的办法是只单独估计K，即把下面左边的问题转换为右边的问题
这样，已知量的个数就远远大于未知量的个数 #P >> #K
这里的p(K|P)是相对于L的边际概率，即：
简单来说，就是对每一个可能的K，我们都要在所有可能的L上求取其后验概率，并把这些后验概率值加起来，得到p(K|P)。你应该可以感觉到求这样的边际概率也是很不容易的事情，计算量非常复杂。于是很多学者采用了近似的方式来进行求解。回到我们开头介绍的Fergus的论文，作者是采用了“变分贝叶斯(variational Bayesian)”方法来近似后验概率的表示和求取
Fergus证明了这种方法能得到远比原始的同时求取K和L的MAP算法好。
二、完整的流程
在论文中, Fergus展示了其完整的盲去卷积的流程：
第一步：预处理图像，为了降低计算量，并得到良好的结果，需要用户来选择一个图像块。
第二步：利用变分贝叶斯，估计卷积核K。为了避免陷入局部最优，作者采用了coarse-to-fine的策略
第三步：利用标准的非盲去卷积方法，重建清晰图像L。作者采用了我在上一篇文章里面提到的Richardson-Lucy算法进行。
三、效果展示
四、后验概率的细节
正如前面所讲，为了求解问题，需要把后验概率用公式表达出来。先引入一些符号来说明问题：
- ：模糊图像块
- ：可能的模糊核
- ：可能的清晰图像块
- : P的梯度
- : Lp的梯度
- ：噪声
首先，我们前面讲过
由于卷积运算是线性运算，因此可以有：
这样我们可以把后验概率改写为
用MAP的思想来说，问题就转换为求使得上述概率最大的K和
我们可以用贝叶斯公式将这个后验概率展开：
我们分别来看后面三项：
于是上面的后验概率就可表示为：
五、算法值得改进的地方
在文章中Fergus提到的几个点都是值得改进的：
- 假设噪声满足高斯分布
- 用混合高斯模型来拟合重尾模型
- 用混合指数分布来描述模糊核的形态
- 多尺度的变分贝叶斯算法复杂度较高，需要用户的手动引导选择小的图像块
- 采用的非盲去卷积是RL算法，相信会有更好的方法来改善图像质量
- 等等
作者本身也在其文章中提到了一些值得改进的地方，能让后人在此基础上对 这项工作有所完。 果不其然，在随后几年的CVPR， SIGGRAPH， ICCV， ECCV上， 几乎每届都有更好的结果涌现。
比如下面这篇2008年Jiaya Jia团队的文章就作出了非常好的效果：
Shan et al., “High-quality Motion Deblurring from a Single Image,” SIGGRAPH 2008
文章的改善点包括了：
- 更复杂的噪声模型，噪声的概率分布由其0阶、1阶、2阶梯度的分布来描述
- 更简单的拟合重尾分布的函数
- 加入了局部平滑区域的约束，避免出现振铃效应
- 复杂的优化方法，交替式的优化估计清晰图像L和模糊核K
下面是算法的效果，还是非常不错的：
这个领域后面出了非常多效果更好的文章，在github上有一个专门的项目整理记录：
https://github.com/subeeshvasu/Awesome-Deblurringgithub.com
六、总结
去卷积分为非盲去卷积和盲去卷积，我介绍的用途主要是图像的去模糊。今天介绍的Fergus的文章利用了变分贝叶斯算法来求解模糊核K，然后利用经典的非盲去卷积算法Richardson-Lucy算法来进行清晰图像的恢复。从今天介绍的文章你可以看到，理解盲去卷积的算法对图像的统计信息、概率知识、最优化求解方法的要求要比非盲去卷积高很多。坦率说，我自己在看这些文章时也感觉很吃力。
但我希望这篇文章能给你打开一扇大门，让你可以透过它看到一片新的研究天地。如果你喜欢这篇文章，请给我点赞，谢谢！
七、参考资料
- CMU 2017 Fall Computational Photography Course 15-463, Lecture 17
- Fergus et al., “Removing camera shake from a single image,” SIGGRAPH 2006.
- Levin et al., “Understanding and evaluating blind deconvolution algorithms,” CVPR 2009 and PAMI 2011.
- Shah et al., “High-quality Motion Deblurring from a Single Image,” SIGGRAPH 2008
- https://github.com/subeeshvasu/Awesome-Deblurring
- 图像去模糊之初探–Single Image Motion Deblurring
