可以,这是数值分析书上的定理.
就是存在排列矩阵P(对换矩阵的乘积),使得PA=LU.
这个定理说明先对A进行对换矩阵的行得到PA,然后再对PA进行LU分解是可行的.
证明如下:
A选主元的LU分解实际是对应这样的矩阵相乘
U=(Ln-1En-1)..(L2E2)(L1E1)A
看等号右边我们来解释一下,每个括号里包含两部分L和E,其中E代表对换就是选主元,L代表选完主元后的列消去,例如E1就是对A选主元第一行与某行对换,L1是将得到的矩阵E1A第一列除a11外全变零.然后对第二列选主元E2,再消去第二列的其他元素L2..直至消去成既约矩阵U.
这个式子中的兑换矩阵E都不是下三角矩阵,列消去矩阵L都是下三角矩阵.
怎么样把所有的E都移到A的旁边使得所有的L在一起呢?
我们知道
第一,对换矩阵有性质EijEij=I(单位阵)就是对换ij两行再对换ij两行保证矩阵不变.
第二,而下三角矩阵L,将ij行对换,再将得到的矩阵ij列对换,得到的还是下三角矩阵:EijLEij=L*(L*表示一个新的下三角矩阵.)
因此回头看上边的等式:
U=Ln-1En-1..L2E2L1E1A=Ln-1En-1..L2(E3E3)E2L1(E2E2)E1A=
Ln-1(En-1Ln-2En-1)...(E3L2E3)E3(E2L1E2)E2E1A=Ln-1(Ln-2*)....(L2*)E3(L1*)E2E1A
第一个等号是因为EijEij=I,第二个等号是因为矩阵乘法满足结合律.第三个等号是把(E2L1E2)记成L1*根据上边他是一个新的下三角矩阵.
然后我们看这个式子他把E1E2移到了A的附近,然后括号里边的是新的下三角矩阵.
以此类推 ,把E3....En-1都化到A的旁边,就有
U=(Ln-1.....L2L1)(En-1....E1)A.记为U=LPA.
L的逆矩阵也是下三角矩阵,同时左乘他.就有LU=PA(最后的式子中的L是原来L的逆矩阵 两个不一样)
