一、树的定义

树形结构是一类重要的非线性结构。树形结构是结点之间有分支，并具有层次关系的结构。它非常类似于自然界中的树。

树的递归定义：

树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：

(1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；

(2)其余的结点可分为m(m≥0)个互不相交的子集Tl，T2，…，Tm，其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根的子树(Subree)。

二、二叉树的定义

二叉树是由n(n≥0)个结点组成的有限集合、每个结点最多有两个子树的有序树。它或者是空集，或者是由一个根和称为左、右子树的两个不相交的二叉树组成。

特点：

(1)二叉树是有序树，即使只有一个子树，也必须区分左、右子树；

(2)二叉树的每个结点的度不能大于2，只能取0、1、2三者之一；

(3)二叉树中所有结点的形态有5种：空结点、无左右子树的结点、只有左子树的结点、只有右子树的结点和具有左右子树的结点。

三、二叉树的性质

1 ：在二叉树的第i层上至少有2^(i-1)个结点

2：深度为k的二叉树至多有2^(k-1)个结点

3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

4：具有n个结点的完全二叉树的深度是【log2n】+1(向下取整)

5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：

如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2

如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i

如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1

二叉树深度算法如下：

深度为m的满二叉树有2^m-1个结点；

具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1.(log2n是以2为底n的对数)


扩展资料：

二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。

在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

一棵深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树，称为满二叉树。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树。

四、二叉树的存储结构

二叉树的存储结构有顺序存储结构、链式存储结构

顺序存储：结构采用一维数组存储的。根据二叉树的性质6可计算出双亲结点、左右孩子结点的下标。因此满二叉树、完全二叉树的存储可采用一维数组，把结点按从上到下、从左到右的顺序存放在数组中，结点之间的关系可由性质6的公式计算得到。

链式存储：结构采用链表存储二叉树中的数据元素，用链建立二叉树中结点之间的关系。二叉树最常用的链式存储结构是二叉链，每个结点包含三个域，分别是数据元素域data、左孩子链域lChild和右孩子链域rChild。与单链表带头结点和不带头结点的两种情况相似，二叉链存储结构的二叉树也有带头结点和不带头结点两种

五、二叉树的操作