逻辑回归 连续特征处理

本文为斯坦福大学吴恩达教授的《机器学习》视频课程第三章主要知识点。

分类问题举例

邮件：垃圾邮件/非垃圾邮件？

在线交易：是否欺诈（是/否）？

肿瘤：恶性/良性？

 

以上问题可以称之为二分类问题，可以用如下形式定义：

其中0称之为负例，1称之为正例。

当y值只有1或0两个值时，如果还使用线性回归，会因为x的样例增加而改变线性回归方程，所以线性回归不适用。

分类问题的假设函数

因为假设函数 0≤hθ(x)≤1，所以我们使用逻辑回归方程来实现

函数g(z)的图形示意如下：

函数值处于0-1之间

 

hθ(x)能告诉我们输入为x时，函数值为1的概率，比如hθ(x)=0.7 表示，函数值为1的概率为70%。

 

同样，根据以下公式：

可以知道函数值为0的概率为：

P(y=0|x; θ) = 1-P(y=1|x; θ) = 1-0.7 = 0.3

决策边界

为了实现假设函数输出0或1这两种分类，需要将假设函数的值转化为0或1，即：

那对于逻辑回归方程，想要输出值大于0.5，则输入值z需要大于0.

当输入值z为θ^TX时，则意味着θ^TX≥0，即

区分y值为0或者1的边界就是决策边界，可以根据相应的参数θ，算出各个特征变量x之间的关系。

例如：

注：决策边界由假设函数的θ 决定

代价函数

在逻辑回归中，若想获取代价函数的最优解，我们不能使用线性回归中的代价函数方程作为逻辑回归的代价函数，因为这样画出来的代价函数图像是波浪状的，会有很多的局部最优解，从而不能判断哪一个是最终最优解。

所以，我们根据y的值（0或1），将逻辑回归的代价函数某一部分写成以下形式：

 

当y为1时，得到J(θ) 与 h_θ(x)之间的关系图为：

当y为0时，得到J(θ) 与 h_θ(x)之间的关系图为：

写成函数表达式就是：

在逻辑回归中，将代价函数写成上述形式，能够保证代价函数与逻辑回归函数的图像是凸形的。

因为y的值要么是0，要么是1，所以我们可以将代价函数的某一部分改写成：

完整的代价函数写成：

 

一般梯度降低方法的公式为：

具体带入，则为：

同时更新所有的θ，直到代价函数与调试次数的函数收敛到一定程度。

关于过拟合

从图中的三幅图可以看出，左边的拟合函数过于简单，没有完全捕捉信息，有高偏差，属于欠拟合；

中间的图较好的拟合了样本数据；

而右边图中的曲线很好的穿过了所有的样本，但函数变量过多，曲线过于扭曲，不能很好的泛化到新的样本数据中，属于过拟合。

过拟合现象在线性回归和逻辑回归中都可能出现，主要有两种方法避免过拟合问题：

1、减少特征向量的数量

• 手动挑选保留的特征向量
• 使用挑选模型算法

2、正则化

保留所有的特征向量，但是减小参数的θ的大小

当所有的参数θ减小时，假设函数就会变得相对平滑一些，就比较容易避免过拟合现象。

 

正则化线性回归

正则化线性回归帮助线性回归方程避免过拟合（即使训练样本小&特征向量多），还可以帮助解决X^TX不可逆的问题。

在梯度下降方法中，对参数θ的调试过程中，从θ₁开始（而不是θ₀），给每一个参数加上一个正则项

：

经过变换，我们的梯度下降方法可以写成：

其中肯定是小于1的，所以经过每一次调试，θ_j都会变小

 

除了梯度下降法，在正规方程中，也能使用正则化线性回归：

矩阵L是对角线上第一个数为0，其他都为1 ，剩下的部分都为0的矩阵，维度是(n+1)×(n+1)。若X^TX不可逆，λ⋅L的加入也可以帮助解决X^TX不可逆的问题。

逻辑回归函数的正则化：

对逻辑回归函数进行正则化，也是在代价函数的后面加上一个正则项，解决复杂的非线性分类问题：