人口预测 Python 人口预测用什么模型

上期中介绍了两种利用非线性函数拟合人口与物种增长趋势的方法。这两种方法都可以用于对人口与物种增长的总体趋势进行预测，但预测不够精细。我们知道在正常社会条件或自然条件下，生育率与死亡率是与群体的年龄构成息息相关的。我们需要对整个群体按年龄进行层次划分，构建与年龄相联系的人口模型。典型的例子就是Leslie矩阵模型。

Leslie矩阵介绍

我们把整个社会中的人群按年龄等距分成n组，每组中该年的人口总数为$a_i,i=1,2,...,n$，每组人口的每年的普遍存活率为$c_i,i=1,2,...,n-1$(设最后一组下一年全部死亡)，每组人口的每年普遍生育率为$b_i,i=1,2,...,n$，则下一年每组中的人口总数$a$就满足递推关系式$\begin{cases}a$

该式可写成矩阵乘向量的形式：
$\vec{a$

该式中左边的矩阵就是Leslie矩阵。

Leslie矩阵性质

1. Leslie矩阵有唯一的单重正特征值$\lambda_1$，对应的特征向量$\vec x_1=(1,b_1/\lambda_1,c_1c_2/\lambda_1^2,...,c_1c_2...c_{n-1}/\lambda_1^{n-1})^T$

证明：设n阶的该矩阵为Ln，n阶的特征多项式为Pn，则有
$P_n=|\lambda I-L_n|= \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&...&-b_{n-1}&-b_n\\ -c_1&\lambda&...&0&0\\ 0&-c_2&...&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&...&-c_{n-1}&\lambda \end{matrix} \right|$
$=>P_n=\lambda \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&...&-b_{n-2}&-b_{n-1}\\ -c_1&\lambda&...&0&0\\ 0&-c_2&...&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&...&-c_{n-2}&\lambda \end{matrix} \right|+c_{n-1} \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&...&-b_{n-3}&-b_{n-1}\\ -c_1&\lambda&...&0&0\\ 0&-c_2&...&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&...&-c_{n-2}&0 \end{matrix} \right|$
$=>P_n=\lambda P_{n-1}+c_{n-1}(-b_{n-1})(c_1c_2...c_{n-2})(-1)^{n-2}(-1)^{n-2}=> P_n=\lambda P_{n-1}-b_{n-1}c_1c_2...c_{n-1}$
$=>P_n=\lambda P_{n-1}-\beta_{n-1}=> P_n=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-...-\beta_n=>$
$0=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-...-\beta_n=>P_n=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-...-\beta_n=>$
$1=\beta_1\lambda^{-1}+\beta_2\lambda^{-2}+...+\beta_n\lambda^{-n}$右边的函数是单调连续减函数，且$\lambda$无穷大时趋近0、$\lambda$趋近于0时趋近正无穷，所以有唯一正特征根$\lambda_1$，对应的特征向量为$\vec x_1=(1,b_1/\lambda_1,c_1c_2/\lambda_1^2,...,c_1c_2...c_{n-1}/\lambda_1^{n-1})^T$

2. 所有负的特征值都满足$|\lambda|<\lambda_1$，称$\lambda_1$为严格优势特征值

证明:设有特征值满足$|\lambda|\geq\lambda_1=>\lambda\geq-\lambda_1$，则有其依然满足$1=\beta_1\lambda^{-1}+\beta_2\lambda^{-2}+...+\beta_n\lambda^{-n}$ ，而 $1=\beta_1\lambda_1^{-1}+\beta_2\lambda_1^{-2}+...+\beta_n\lambda_1^{-n} \geq\beta|\lambda^{-1}|+\beta|\lambda^{-2}|+...+\beta|\lambda^{-n}|>\beta\lambda^{-1}+\beta\lambda^{-2}+...+\beta\lambda^{-n}$，矛盾

3. 对于任意人口分布向量$\vec x$，其迭代k次后的结果有$\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{\vec x^{(k)}}{\lambda_1^k}=c\vec x_1$(c为常数)，即迭代了无穷多次时，人口的分布比例趋近于特征向量$\vec x_1$，而人口增长率趋近于特征值$\lambda_1$

证明：仅对可化为对角阵的情况进行证明（一般情况需要用到约旦标准型）。$\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{\vec x^{(k)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{L^k\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{(Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)P^{-1})^k\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{Pdiag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,...,\lambda_n^k)P^{-1}\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} Pdiag(1,\lambda_2^k/\lambda_1^k,...,\lambda_n^k/\lambda_1^k)P^{-1}\vec x^{(0)}$，由于$\lambda_1$为严格优势特征值，有$原式=\displaystyle \lim_{k->+∞} Pdiag(1,0,...,0)P^{-1}\vec x^{(0)}=(\vec x_1,\vec x_2,...,\vec x_n)diag(1,0,...,0)(\vec x$

总结

列出Leslie矩阵，我们即可对人口年龄分布进行迭代。且无论一开始的人口分布向量如何，人口比例在迭代无数次之后总趋近于特征向量$\vec x_1$。而人口增长率趋近于特征值$\lambda_1$，说明特征值$\lambda_1$可以用于预测人口增长速度，对于计生有重要意义。