二元逻辑回归中的p交互作用 二元逻辑回归方程

逻辑回归

• 0. 本质和概述

• 本质：y 表达了正例的可能性
• 概念/术语

• 1. 假设函数

• 建模过程：用对数几率去拟合一条线性回归线
• 逻辑回归模型

• 2. 损失函数
• 3. 优化算法

• 3.1 极大似如估计：去求解概率函数的极大值
• 3.2 梯度下降法：求解极大值

• 4. 代码实例

• 4.1 一维（特征）数据
• 4.2 二维数据

• Softmax回归

逻辑回归类似于多元线性回归，只是结果是二元的。它使用多种变换将问题转换成可以拟合线性模型的问题。更准确地说，逻辑回归也是一种线性模型 y = w^Tx，为了解决分类问题而引入了一个非线性的决策函数g(·)，用来将输出由实数变为离散标签—— LR 选择的是Sigmoid 函数，即 y = Sigmoid(w^Tx)。

0. 本质和概述

本质：y 表达了正例的可能性

利用 y = w^Tx + b 对新样本 x 进行分类，并用预测出的 y 值与一个阈值进行比较。
例如通常在 y > 0.5（1-y < 0.5）时判别为正例，否则为反例。

核心：直接从样本估计出它属于正负样本的概率

Logistic 回归 或者叫 逻辑回归 虽然名字有回归，但是它是用来做分类的。其主要思想是: 根据现有数据对分类边界线(Decision Boundary)建立回归公式，以此进行分类。

概念/术语

• Logistic 函数
  一种能将属于某个类的概率映射到 ±∞ 范围上(而不是 0 到 1 之间)的函数。（注意并不是最终的比例）
  Logistic 函数 = 对数几率函数
• 几率
  “成功”(1)与“不成功”(0)之间的比率。
• 结果变量：标签是 1 的概率 p（而不是简单二元标签）
  结果变量 = 变量 y

1. 假设函数

建模过程：用对数几率去拟合一条线性回归线

首先，我们不能将结果变量简单看作二元标签，而应视为标签是 1 的概率 p。

若直接建模，并不能确保概率 p 位于 [0, 1] 区间内：

下面换一种做法。我们通过在预测因子中应用逻辑响应函数（逆逻辑回归函数）去建模p：

这一转换确保了 p 值位于 [0, 1] 区间内。注意：

对等式两端取对数，得：

对数几率函数也称Logistic函数。

完成这样的转换过程后，我们就可以使用线性模型去预测概率。

逻辑回归模型

• 线性回归模型的模型
• Sigmoid函数
  逻辑回归的模型定义（需要借助Sigmoid函数）：
  
• 逻辑回归的模型
• 逻辑回归的模型的预测

假定上个表达式是等于类 1 的概率，自然等于类 0 的概率等于1减去等于类 1 的概率。

就是将上面两个式子整合为下面一个公式:

2. 损失函数

先求出由所有样本组成的似然函数，转化为对数似然，转化为梯度下降，根据梯度下降的方向更新迭代权重参数，选取代价函数本次与上次的差小于某个阈值的迭代思路。

• 似然函数
  
  m表示样本个数。

对数似然如下：

然后，利用对数极大似然估计，即求上式的极大值，引入因子 -1/m，转化为求下式的极小值：

即为逻辑回归代价函数（log损失函数）

3. 优化算法

逻辑回归代价函数没有已知的闭式方程（不存在一个标准方程的等价方程）来计算出最小化成本函数的θ值。但是，这是个凸函数，所以通过梯度下降（或是其他任意优化算法）保证能够找出全局最小值。

3.1 极大似如估计：去求解概率函数的极大值

L(θ) 就是 LR 的似然函数。我们要让它达到最大，也就是对其进行“极大估计”。因此，求解 LR 目标函数的过程，就是对 LR 模型函数进行极大似然估计的过程。

l(θ) 其实可以作为 LR 的目标函数。前面讲过，我们需要目标函数是一个凸函数，具备最小值。因此我们设定：J(θ)=−l(θ)。

这样，求 l(θ) 的最大值就成了求 J(θ) 的最小值。J(θ) 又叫做负对数似然函数。它就是 LR 的目标函数。

3.2 梯度下降法：求解极大值

4. 代码实例

4.1 一维（特征）数据

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np 

from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

iris = datasets.load_iris()

list(iris.keys())

# 我们试试仅基于花瓣宽度这一个特征，创建一个分类器来检测Virginica鸢尾花。

X = iris["data"][:, 3:] # petal width
y = (iris["target"] == 2).astype(np.int) # 1 if Iris-Virginica, else 0

log_reg = LogisticRegression()

log_reg.fit(X, y)

X_new = np.linspace(0, 3, 1000).reshape(-1, 1)

y_proba = log_reg.predict_proba(X_new)

y_proba

plt.scatter(X, y)

plt.plot(X_new, y_proba)

# plt.plot(X_new, y_proba[:, 1], "g-", label="Iris-Virginica")

# plt.plot(X_new, y_proba[:, 0], "b--", label="Not Iris-Virginica")

注意，这里有一部分重叠。在大约1.6厘米处存在一个决策边界，这里“是”和“不是”的可能性都是50%

4.2 二维数据

• 导入模块

import numpy as np 
import pandas as pd 
import matplotlib.pyplot as plt 
import seaborn as sns; sns.set()

from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

• 准备数据

X, y = make_blobs(n_samples=100, centers=2, 
                       cluster_std=0.60, random_state=0)
 
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='viridis')

• 拟合数据

logistic_model = LogisticRegression() 
logistic_model.fit(X, y)

• 预测数据

# 产生新（二维）数据 

rng = np.random.RandomState(0)
X_new = [-1, -1] + [5, 7] * rng.rand(2000, 2)
print(X_new.shape)
print(X_new[0:3, :])

plt.scatter(X_new[:, 0], X_new[:, 1], s=10) 

(2000, 2)
[[1.74406752 4.00632556]
 [2.01381688 2.81418228]
 [1.118274   3.52125879]]

新数据：

• 预测

y_pred = logistic_model.predict(X_new)
print(y_pred.shape) 
print(y_pred[0:3])

(2000,)
[0 1 0]

• 可视化逻辑回归训练结果

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='viridis') 
plt.scatter(X_new[:, 0], X_new[:, 1], c=y_pred, s=5, alpha=0.5)

可以清晰地看出模型的预测结果

（相对于可视化决策边界更加直观）

附：也可以使用 plt 的 pcolormesh() 函数进行绘制分类图（根据y的取值画上不同的颜色）
逻辑回归介绍利用plt.pcolormesh绘制分类图

Softmax回归

逻辑回归模型经过推广，可以直接支持多个类别，而不需要训练并组合多个二元分类器。这就是Softmax回归，或者叫多元逻辑回归。

参考

1. 逻辑回归——非线性逻辑函数的由来
2. 逻辑回归——用来做分类的回归模型
3. 《机器学习实战基于scikitlearn和tensorflow》
4. 一句话+一张图说清楚 Logistic回归 算法