一元三次方程
作者小贺提示
此篇及以后，标有***【*】的会在文章最后有解释说明，尽量保证正文思路流畅。
一元整式方程
形如：
只有一个未知数的方程叫一元整式方程。
一元一次方程和一元二次方程，大家在初中就学过，而更高次数的方程就不会学了，所以这期我来带大家一起推导一下一元三次方程的求根公式以及判别式。
一元三次方程
形如：
的方程叫一元三次方程。
推导之前的思考
根据代数原理【1】，一元三次方程的根有三个(三个实根或一实两虚【2】)。高次方程先降次，用配方法可以将二次项消掉。一元三次方程的根是两个三次根号项相加而成，所以我们可以先设x=m+n，再进行推导，先看看下面这个巧妙的推导吧！
一元三次方程求根公式推导
先整体除以a：
用配方法合并三次项和二次项：
设：
则方程会变成：
这个简化的形式是我们想要的。
我们设y=m+n，使3mn+p=0，则可得：
现在我们得到了：
上面是推导出来的，下面是令设的。下面来解这个二元三次方程，令M=m^3,N=n^3，则上面的式子变成：
下面的式子两边都立方：
注意：这里将下面这个方程立方会有增根。根据令设，根可表示为：
这里的计算是立方根【3】，那我们考虑：
其解是：
【4】其中：
再看这个式子：
我们可以猜出这个式子有3组解：
这里的开立方计算是算数立方根【3】。然而再看这个式子：
我们发现它有9组解：
这里的开立方计算是算数立方根【3】。其中，只有前三个是原方程的解，说明之前等式两边立方使原方程有6个增根。
所以，最终的解应该是：
最后，我们来放松地解一下二元二次方程吧：
用消元法：
对于方程
的解：
(这里的开立方计算是算数立方根【3】)是可交换的【5】，所以最终的根就是：
判别式
上文中的x和y的实虚性是一致的(因为-b/3a是实数)，所以下文都讨论y的实虚性。M和N中的根号下数的正负及其重要，所以我们就讨论二次根号下数的正负。
判别式的推导
设：
当判别式大于0，则三次根号下的数是实数，即m1和n1都是实数，所以y1是实数，而另两个根：
同理：
很明显，y2和y3是共轭复数【6】。
当判别式等于0，即m1=n1，很明显y1是实数，而另两个根：
同理，y3=y2，都是实根。特别的，当p=q=0时，y1=y2=y3=0，三重零根。当p,q不等于0，y2=y3。
当判别式小于0，m1和m2是复数，复数开立方根后还是复数，且两个共轭复数开立方根后还是互为共轭复数【7】，共轭复数相加为实数，所以这三个根都是实根。
综上所述，
当判别式大于0，一实两共轭虚；
当判别式等于0，三个实根，
当p=q=0，三重零根，
当p,q不等于0，两个相等实根；
当判别式小于0，三个实根。
注释
【1】代数原理属于代数学，它利用变换、置换等研究代数理论，给出一些基本定理，如一元n次方程有n个根。
【2】根据代数原理，一元整式方程虚根的数量是偶数个，所以一元三次方程的虚根数量就是0个或2个。
【3】平方根和一元三次方程类似，它像是只有三次项和常数项的一元三次方程，开根结果有3个值(一实两虚)；而算数平方根是3个值中的实数。
【4】这个计算下一期会讲。
【5】可交换的意思是几个参数交换位置，最终的值不变，比如：3mn+2m+2n，当m和n交换时，结果不变。
【6】高中知识，下下期会讲。
【7】同样，下下期会讲。
