武海娟：吉林大学附属中学教师，东北师范大学硕士研究生，长春市名师工作室主持人，吉林省教学新秀，长春市首届明星教师、骨干教师、优秀班主任，2015年长春市中考数学命题组成员，中考人才库成员。曾获第七届青年教师全国公开课一等奖，东北地区优质课一等奖第一名，在长春市集体备课中担任主讲，多次为内蒙古、安徽等地国培教师做专题讲座，受到业界好评。
方程是数学学习中最为重要的一个内容，它贯穿了整个数学体系。一元一次方程是初中数学中最简单也是最为基础的代数方程，它的掌握和融会贯通与否直接影响着后续课程的进一步学习，对于今后数学学习阶段具有重大的意义。一元一次方程的解法看似简单，但对于初学者特别是理解能力比较弱的学生来说还存在一定的难度的，它是解方程的基础，所以在一元一次方程的解法教学上教师一定要重视。
一、关于教师对于解方程的理解深度的调查
数学教师长期从事初中教学，其专业视野会逐渐收缩，遗忘掉知识系统中最为核心的一些知识，从而造成在教学中的局限性。对于什么是“解方程”的理解，相当一部分教师的认知是狭隘的，当然，这样的教师所教的学生也必然不会对“解方程”真正理解。
笔者曾将下面一个案例讲给了7位初中教师，调查他们观点：
某校初一的数学课堂上，教师在黑板上板书题目：“解方程
”。教师刚刚写完“5”的瞬间，一名男孩就喊出了“
”。对于学生的不守规矩的抢答，教师似乎有点不满，于是出现了下面一段师生的对话。
师：那你就说说是怎么解出来的?
生：因为
，所以
。
师：你的解法不对，应该按照步骤去解．先看方程有没有分母？
生：没有。
师：再接下来看什么？
生：……(茫然)．
教师转而提问其他同学，按移项、合并同类项、系数化成1的步骤完成了解题。接着，教师追问那个男生一句：“你现在会解这个方程了吗？”该生点点头，小声地说句：“会了”。
让我们来分析一下那名男孩的解法。显然，他是观察出来的，说明他的数感很好，或者说数学的直觉好，这是非常重要的数学思维品质。
他的解法有问题吗？没有。
什么叫解方程？求方程的解的运算过程叫做解方程。那什么叫方程的解呢？能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。这两个概念教师们都是熟烂于心的。
我们知道：对于方程
，当
时，方程
有唯一解。因此，方程的解的存在性和唯一性是没有问题的，而2恰使其左右两边的值相等。无疑，2就是这个方程的解。
应该说，那个男孩利用猜想、验证的合情推理的方式很漂亮地解决了这个方程的求解问题，否定是没有道理的。
这是一个典型的教师僵化教学的案例。但在笔者调查的7名教师中，仅有1人认为男孩的解法正确，其余6人均认为结果不是“解”出来的，因此不能肯定该生的做法，甚至在笔者讲清道理后，还有1人坚持认为：就算是从理论上讲没问题，我也不会这样教给学生，中考不给分怎么办？
这一方面反映了一些教师的刻板、教条，过分强调非数学本质的一些旁枝末节。另一方面也反映了一些教师对于数学知识的理解还是表面化的，没有深刻的思考，不能站在知识的系统高度上处理初中的数学内容。我们不应该把解方程的步骤规定得太绝对化，要给将来的图象法、逼近法等近似解法预留点空间。如果这些知识根本没有在教师的头脑里“挂号”，只能说明其教学视野狭窄。
此外，这个案例也在一定程度上反映了一些教师教学观念的滞后。对于学生的“异类”思维轻易不要否定，而应该思考其是否有合理的成分。标新立异常常是创造性思维的萌芽。
数学特级教师孙维刚老师生前特别强调的就是“要站在系统的高度来处理数学教学内容”，这对教师的数学功底、数学素养的殷切要求，也应是每个中学数学教师的教学理想。
二、方程同解定理在初中教材中的呈现方式
1.初中数学要用到的两个方程同解定理
初中方程教学的核心内容是解方程，而讲解方程就必须先讲解方程的理论依据，即方程同解定理。在初中数学中常涉及下面两个定理：
定理1 如果函数A(x)对于方程f(x)＝g(x)的定义域M有意义，那么方程f(x)＝g(x)与方程 f(x)＋A(x)＝g(x)＋A(x)同解。
定理2 如果函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的定义域M有意义，并且不等于零，那么方程 f(x)＝g(x)与方程f(x)A(x)＝g(x)A(x)同解。
2.当前绝大多数教材对方程同解定理的处理方式
当前各版本教材对于同解定理1和2，都是在初一年级处理，以天平为模型，用等式的性质替代方程的同解定理，这也是国外中学教材所普遍采用的方式。
其中，人教版新教材最具代表性：
等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
等式的性质2 等式两边乘或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3.华东师大版教材的不同处理
但也有个别教材不用等式的性质，而是将方程同解定理以公理的形式给出，如下面的华东师大版教材也是从天平入手，由天平的平衡联想方程的变形。
归纳：
方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。
方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变。
三、关于一元一次方程的解法
不论是大陆还是港台，都非常重视一元一次方程解法的教学，特别强调解题步骤的程序化，尤其是大陆规定得十分详尽，要求学生按如下步骤操作：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。
笔者所设计的下面的流程图基本上反映了当前众多版本教材对于一元一次方程解法教学的思路，那就是程序化，模式化，指令明确，具有很强的操作性。
该流程图将蕴藏于解方程过程中的“化归思想”显化为操作规则。在一步步指令下，学生只要不出现计算上的错误，即可实现正确求解。
这种模式很典型地体现了中国基础数学教育的特色，强调基础知识、基本技能。
四、关于一元一次方程程序化解法的实证研究
为了解一元一次方程解法的程序化教学是否有利于提高学生解方程的准确率，笔者做了一个微型教学实验。
实验假设：在一元一次方程解法的教学中强化解法的程序化模式，有利于提高学生解一元一次方程的准确率。
被试：笔者所教的两个班级的学生。
自变量：对一元一次方程解法的不同要求。
因变量：学生解一元二次方程的准确率。
控制变量：教师、教材、学生以及教学环境。
实验设计：
将笔者所教的两个班级分别作为实验班和对比班。两个班级是入学时按成绩分成的普通班，学生人数、男女生比例、平均分、及格率、优秀率等各项指标均相近，两个班级各学科的任课教师均相同。
笔者将在实验班的教学中强调解方程的步骤，严格要求学生必须按上面流程的顺序完成解方程的过程。
而在对比班的教学中只讲化归，但不强调、不刻意总结解方程的步骤，鼓励学生不拘一格，积极探索不同解法。
讲完一元一次方程解法整个单元后，发放一张测试问卷，了解实验班与对比班的成绩是否因教学中方程解法的不同要求而产生显著差异。
问卷共设置10个题目，涵盖解一元一次方程的主要类型题，题目的难易程度按5∶4∶1分配，即5道基本题，4道中档题，1道灵活题。
问卷如下：
请在20分钟内完成下列10个解方程的题目。
(1)
； (2)
；(3)
； (4)
；(5)
；(6)
；(7)
；(8)
；(9)
；(10)
。
实验结果：
第1题 | 第2题 | 第3题 | 第4题 | 第5题 | ||||||
正确人数 | % | 正确人数 | % | 正确人数 | % | 正确人数 | % | 正确人数 | % | |
实验班 | 40 | 100 | 40 | 100 | 39 | 97.5 | 39 | 97.5 | 37 | 92.5 |
对比班 | 38 | 100 | 38 | 100 | 37 | 97.3 | 37 | 97.3 | 35 | 92.1 |
第6题 | 第7题 | 第8题 | 第9题 | 第10题 | ||||||
正确人数 | % | 正确人数 | % | 正确人数 | % | 正确人数 | % | 正确人数 | % | |
实验班 | 36 | 90.0 | 34 | 85.0 | 35 | 87.5 | 33 | 82.5 | 26 | 65.0 |
对比班 | 34 | 84.2 | 30 | 78.9 | 30 | 78.9 | 28 | 73.6 | 28 | 73.6 |
结果分析：
(1)实验班与对比班在第1题至第5题的解答上，没有明显差距，最多仅差0.4%。表明解法程序化对于简单方程的学习影响不大。
(2) 实验班与对比班在第6题至第9题的解答上，存在一定的差距，特别是在第7、8题上，差距明显，实验班好于对比班将近10个百分点。从卷面上看，由于实验班多数学生按照程序化的规定按部就班解答，思路清晰，步骤完整，出错率较低。而对比班一些学生犯计算马虎一类的低级错误的比例相对高些。表明，程序化解方程虽然机械、死板，但有助于学生牢固掌握解一元一次方程的基本技能。
(3)实验班与对比班在第10题的解答上，也存在差异，但情况是反过来了，对比班却相对好于实验班。这是一个根据系数的特点，灵活选择解法的题目。两个班的学生都没见过这类题目，是笔者特意留下来为这次测试而准备的。
这方程的简捷解法应为：去小括号→合并同类项→去中括号→合并同类项→去分母→合并同类项→系数化为1。
这个过程与上面的“规范”流程图有很大的区别。
由于对比班的学生头脑里没有程序化解法的束缚，能够注意观察系数的特点。而实验班的相当一部分学生面对陌生问题，没有观察系数特点的意识和经验，仍然不假思索地依照流程图的顺序，中规中矩地去操作，过程繁琐且易出错。
这就是程序化解方程所产生的负迁移。
五、结语
方程是应用非常广泛的数学工具，因此一元一次方程的解法教学尤为重要。在一元一次方程解法的教学过程中，教师应该夯实学生的基础，不断进行教学反思与改进。通过对比训练、错题展示、学生编题等鼓励学生用自己的方法解方程，并灵活应用解方程的步骤，准确求解，培养学生思维的逻辑性。
