1．问题描述
按递增顺序依次列出所有分母为40、分子小于40的最简分数。
2．问题分析
分子和分母只有公因数1的分数，或者说分子和分母是互质数的分
数，叫作最简分数，又称既约分数。如2/3、8/9、3/8等就是最简分数。
方法1：求分子小于40的最简分数，可以对分子采用穷举的方法。
根据最简分数的定义可知，分子和分母的最大公约数为1，因此可以利
用最大公约数的方法，判定分子与40是否构成真分数。
方法2：分子和分母的公因数只有1的分数为最简分数，若分子和
分母在1～分子（num2）（题目要求分子小于40，分子和分母的公约数
小于两者中的任意一个）之间除了1之外还有其他的公因数，则此分数
肯定不是最简分数。
3．算法分析
变量num1、num2分别用于存储分母和分子的值。
方法1：
求最大公约数一般采用辗转相除的思想，具体步骤概括如下：
1）用较大的数num1除以较小的数num2，得到的余数存储到变量
temp中，即temp=num1%num2。
2）用较小的除数num2和得出的余数temp构成新的一对数，并分别
赋值给num1和num2，继续做上面的除法。
3）当num2为0时，num1就是最大公约数；否则重复步骤1和步骤
2。
对于辗转相除法的思想将在4.4节详细说明，此处先跳过。
方法2：
分数的分子仍然采用穷举法。对于每一个可能的分子，都要判断
在1～num2范围内分数num1/num2除了1之外是否有其他的公因数，循
环初值为2。
在2～num2内若有一个数j能同时整除分子、分母，说明此分数不
是最简分数，j～num2之间的数也无须再判断，利用break语句结束循
环，循环结束时j<num2。循环过程中若没有一个数可以同时整除分子
和分母，即条件if(num1%j==0)and(num2%j==0)不成立，则break语句不
执行，循环正常结束，即条件j≤num2不成立，循环结束时j>num2。利
用j与num2的大小关系可判断分数是否为最简分数。
4．确定程序框架
辗转相除法求最大公约数的流程图见4.4节，下面给出方法2的流程
图，如图4.4所示。
5．完整的程序
代码1（对应方法1）：
#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 列出真分数序列——利用辗转相除法
if __name__ == "__main__":
print("分母为40，分子小于40的最简分数有：")
n = 0 # 计数器，记录最简分数的个数
for i in range(1, 40): # 穷举40以内的全部分子
num1 = 40 # 分母
num2 = i # 分子
# 采用辗转相除法求出分子与分母的最大公约数
while num2 != 0:
temp = num1 % num2
num1 = num2
num2 = temp
if num1 == 1: # 若最大公约数为1，则为最简真分数
n += 1
print("%2d/40 " %i, end=" ")
if n % 8 == 0: # 每8个一行
print()代码2（对应方法2）：
#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 列出真分数序列
if __name__ == "__main__":
print("分母为40，分子小于40的最简分数有：")
n = 0 # 计数器，记录最简分数的个数
for i in range(1, 40): # 穷举40以内的全部分子
num1 = 40 # 分母
num2 = i # 分子
j =2
while j <= num2:
# 判断2～num2之间分子和分母是否有公约数
# 如果有j满足条件，则结束循环，说明此时的分数不是最简分数
if (num1 % j == 0) and (num2 % j == 0):
break
j += 1
# 如果j > num2，说明2～num2之间没有分子和分母的公约数，分数为最简分数
if j > num2:
print("%2d/40 " %i, end=" ")
n += 1
if n % 8 == 0: # 每行输出8个数
print()6．运行结果
在PyCharm下运行程序，程序的运行结果如图4.5所示。
7．拓展训练
按递增顺序依次列出所有分母小于等于40的最简真分数。
根据问题描述进行分析后可知，求分母为40、分子小于40的最简
分数的算法如上所述；当分母为30，求分子小于30的最简分数思想与
上述思想相同，只需将num1的值改为30；分母为39，38，37，…，1
时，最简分数也都可用上述方法求得。因此，要求分母小于等于40的
最简真分数，只需在上述程序的基础上加一个外层循环来控制分母的
取值即可，即添加循环“for k in range(1,40+1)”。
代码如下：
#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 列出真分数序列
if __name__ == "__main__":
print("分母小于等于40的最简分数有：")
for k in range(1, 40+1):
num1 = k # 分母
n = 0 # 计数器，记录最简分数的个数
for i in range(1, num1): # 穷举40以内的全部分子
num2 = i # 分子
j = 2
while j <= num2:
# 判断2～num2之间分子和分母是否有公约数
# 如果有j满足条件，则结束循环，说明此时的分数不是最简分数
if (num1 % j == 0) and (num2 % j == 0):
break
j += 1
# 如果j > num2，说明2～num2之间没有分子和分母的公约数，分数为最简分数
if j > num2:
print("%2d/%2d " %(num2,num1) , end=" ")
n += 1
if n % 10 == 0: # 每行输出8个数
print()
print()
